Question

【題目】我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”．鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖1所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1 ， 把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2 ．

（1）求C1和C2的解析式；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作直線BE：y= x﹣1交C1于點(diǎn)E（﹣2，﹣ ），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點(diǎn)Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和△EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）

設(shè)拋物線記為C2的解析式為y=ax2+c，

把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到 ，解得 ，

∴拋物線記為C2的解析式為y=﹣ x2+1，

同法可得拋物線記為C1的解析式為y= x2﹣3

（2）

解：∵y= x﹣1交C1于點(diǎn)E（﹣2，﹣ ），

∴BE= = ，

設(shè)直線BE與y軸的交點(diǎn)為F，

由y= x﹣1，可得F（0，﹣1），

∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC≌△BOF，

∴∠OBC=∠EOB，

因此可能存在兩種情形，設(shè)P（x，0），

①當(dāng)△PBC∽△OBE時(shí)， = ，即 = ，解得x= ，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ，0）．

②當(dāng)△PBC∽△EBO時(shí)， = ，即 = ，解得x=﹣ ，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣ ，0）．

③∵∠OBC≠∠AOE，

∴不存在點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)的情形，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（ ，0）或（﹣ ，0）

（3）

解：要使△EBQ的面積最大，則點(diǎn)Q到直線BE的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．

①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q在C1上時(shí)，

設(shè)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y= x+b，則點(diǎn)Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，

∵△=0，

∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，

∴b=﹣ ，

∴y= x﹣ ，

由 ，解得 ，

∴Q（ ，﹣ ），

過(guò)Q作x軸的垂線交直線BE于M，

把x= 代入y= x﹣1，可得M（ ，﹣ ），

∴MQ=﹣ ﹣（﹣ ）= ，

∴△EBQ面積的最大值為 × ×（2+3）= ．

②如圖2中，當(dāng)Q在C2上時(shí)，

設(shè)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y= x+b′，則Q（x， x+b′），代入y=﹣ x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，

∵△=0，

∴9﹣4（9b′﹣9）=0，

∴b′= ，

∴y= x+ ，與y=﹣ x2+1聯(lián)列方程組，解得Q（﹣ ， ），連接EQ，交x軸于N．

易知直線QE的解析式為y= x+8，

∴N（﹣ ，0），

∴BN=3﹣（﹣ ）= ，

∴△QEB的面積最大值為 × ×[ ﹣（﹣ ）]= = ，

∵ ＞ ，

∴△EBQ的面積的最大值為 ，此時(shí)Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)題意確定A、B、C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（2）首先證明∠OBC=∠EOB，因此可能存在兩種情形，設(shè)P（x，0），①當(dāng)△PBC∽△OBE時(shí)，②當(dāng)△PBC∽△EBO時(shí)，分別求解即可．（3）要使△EBQ的面積最大，則點(diǎn)Q到直線BE的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q在C1上時(shí)，設(shè)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y= x+b，則點(diǎn)Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，由△=0，可得1﹣4（﹣9﹣3b）=0，推出b=﹣ ，可得y= x﹣ ，由 ，求出Q的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．②如圖2中，當(dāng)Q在C2上時(shí)，同法可求．