【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,點D在線段AB上,以AD為直徑的⊙OBC相交于點E,與AC相交于點F,B=BAE=30°.

(1)求證:BC是⊙O的切線;

(2)若AC=3,求⊙O的半徑r;

(3)在(1)的條件下,判斷以A、O、E、F為頂點的四邊形為哪種特殊四邊形,并說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)O的半徑為2;(3)四邊形OAFE是菱形,理由見解析.

【解析】(1)利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質得出∠AOE=60°,進而得出∠BEO=90°,即可得出結論;

(2)先求出∠AEC=60°,利用銳角三角函數(shù)求出AE,最后用三角函數(shù)即可得出結論;

(3)先判斷出△AOF是等邊三角形,得出OA=AF,∠AOF=60°,進而判斷出△OEF是等邊三角形,即可判斷出四邊相等,即可得出結論.

(1)如圖1,

連接OE,∴OA=OE,

∴∠BAE=∠OEA,

∵∠BAE=30°,

∴∠OEA=30°,

∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°,

在△BOE中,∠B=30°,

∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°,

∴OE⊥BC,

∵點E在⊙O上,

∴BC是⊙O的切線;

(2)如圖2,

∵∠B=∠BAE=30°,

∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°,

在Rt△ACE中,AC=3,sin∠AEC=

∴AE=,

連接DE,∵AD是⊙O的直徑,

∴∠AED=90°,

在Rt△ADE中,∠BAE=30°,cos∠DAE=,

∴AD=,

∴⊙O的半徑r=AD=2;

(3)以A、O、E、F為頂點的四邊形是菱形,理由:如圖3,

在Rt△ABC中,∠B=30°,

∴∠BAC=60°,

連接OF,∴OA=OF,

∴△AOF是等邊三角形,

∴OA=AF,∠AOF=60°,

連接EF,OE,

∴OE=OF,

∵∠OEB=90°,∠B=30°,

∴∠AOE=90°+30°=120°,

∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°,

∵OE=OF,

∴△OEF是等邊三角形,

∴OE=EF,

∵OA=OE,

∴OA=AF=EF=OE,

∴四邊形OAFE是菱形.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點A、B、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。

A. π﹣2 B. π﹣ C. π﹣2 D. π﹣

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【題目】已知數(shù)軸上有A,B兩點,分別表示﹣4020,甲、乙兩只螞蟻分別從A,B兩點同時出發(fā),甲沿線段AB方向以3個單位長度/秒的速度向右運動,甲到達點B處時運動停止;乙沿線段BA方向以5個單位長度/秒的速度向左運動.

1)求甲、乙第一次相遇點所表示的數(shù).

2)求經(jīng)過多少秒時,甲、乙相距28個單位長度?

3)若乙到達A點后立刻掉頭追趕甲(速度保持不變),則在甲到達B點前,甲、乙是否還能再次相遇?若能,求出相遇點所表示的數(shù);若不能,請說明理由.

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【題目】某商家計劃平均每天銷售滑板車100輛,但實際的銷售量與計劃量有出入,下表是某周的銷售情況(超額記為正,不足記為負):

星期

與計劃數(shù)的差值

1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該商家前三天共銷售滑板車______輛;(直接寫答案)

2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的-天多銷售多少輛?

3)本周實際銷售量是多少?

4)該商家實行每周計件工資制,每銷售一輛車可得40元,若超額完成任務,則超過部分每輛另獎20元,少銷售一輛扣25元,那么該商家的銷售人員這一周的工資總額是多少元?

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【題目】如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當點A落在四邊形BCDE內部時,

(1)設∠AED的度數(shù)為x,∠ADE的度數(shù)為y,那么∠1、∠2的度數(shù)分別是多少?(用含有xy的代數(shù)式表示)

(2)∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變,請找出這個規(guī)律,并說明理由.

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【題目】如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1A、B兩點,并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C.

(1)求拋物線解析式及對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)點My軸右側拋物線上一點,過點M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與AOC相似,若存在,求出點N的坐標,若不存在,請說明理由.

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【題目】已知在數(shù)軸上有兩點,點表示的數(shù)為,點點的左邊,且.若有一動點從數(shù)軸上點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,動點從點出發(fā),以每秒個單 位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動,設運動時間為秒,解決以下問題:

寫出數(shù)軸上點所表示的數(shù);

若點分別從兩點同時出發(fā),問點運動多少秒與點相距個單位長度?

探索問題:若的中點,的中點,當點在線段上運動過程中,探索線段 與線段的數(shù)量關系(寫出過程).

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【題目】如圖,所有小正方形的邊長都為1個單位,A、BC均在格點上.

過點C畫線段AB的平行線CD;

過點A畫線段BC的垂線,垂足為E;

過點A畫線段AB的垂線,交線段CB的延長線于點F;

線段AE的長度是點______到直線______的距離;

線段AEBF、AF的大小關系是______連接

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1)如圖1,求證:KE=GE;

2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.

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