Question

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙O，給出如下的定義：若⊙O上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱(chēng)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0）．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D、E、F這三個(gè)點(diǎn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是

 

．②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,切線(xiàn)的性質(zhì),切線(xiàn)長(zhǎng)定理,銳角三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值

專(zhuān)題：新定義

分析：（1）若點(diǎn)P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)P到⊙O的兩條切線(xiàn)PA與PB之間的夾角為60°，此時(shí)OP=2r，進(jìn)而得到：若點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心O的距離d滿(mǎn)足0≤d≤2r．
①由于OD＜2，OE=2，OF＞2，因此點(diǎn)D、E是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；②只需考慮點(diǎn)F剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的m的值，就可得到m的取值范圍．
（2）由于線(xiàn)段EF任意一點(diǎn)到點(diǎn)O的距離都小于等于OF，因此要使線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，只需OF≤2r即可，由OF=2

3

即可得到⊙O的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）由題可知：若點(diǎn)P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)P到⊙O的兩條切線(xiàn)PA與PB之間的夾角為60°，如圖1，

∵PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=

1

2

∠APB=30°．
∴OP=2OA．
設(shè)⊙O的半徑為r，則點(diǎn)P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)OP=2r．
所以若點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心O的距離d滿(mǎn)足0≤d≤2r．
①過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD，如圖2，

∵點(diǎn)D（

1

2

，

1

2

），
∴OC=DC=

1

2

．
∴OD=

2

2

．
∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
∴點(diǎn)D、點(diǎn)E是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，點(diǎn)F不是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
故答案為D、E．
②過(guò)點(diǎn)O作OH⊥GF，垂足為H，如圖3，

則有OH=

1

2

OF=

3

．
當(dāng)點(diǎn)P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)，OP=2．
∵OH＜OP，
∴點(diǎn)P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的位置有兩個(gè)，記為P₁、P₂．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=

OG

OF

=

OG

2 3

=

3

3

，
解得：OG=2．
所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)G重合，此時(shí)m=0．
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂M⊥x軸，垂足為M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP₁=OP₂，
∴∠OP₂P₁=∠OP₁P₂=∠OGP₂=60°．
∴∠P₂OF=30°．
∴cos∠P₂OM=

OM

OP2

=

OM

2

=

3

2

．
∴OM=

3

，此時(shí)m=

3

．
∵直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段P₁P₂（即GP₂）上，
∴m的范圍是0≤m≤

3

．

（2）由于線(xiàn)段EF任意一點(diǎn)到點(diǎn)O的距離都小于等于OF，
因此要使線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，只需OF≤2r，即2

3

≤2r，
則有r≥

3

．
∴⊙O的半徑r的取值范圍是r≥

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)新定義，考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，考查了閱讀理解能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是一道好題．