Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，0），對角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，1）．
（1）寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若在線段AB上有一點(diǎn)E，過E（

3

2

，0）點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，求直線的解析式；
（3）若過C點(diǎn)的直線L將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，并與y軸交于點(diǎn)M，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由矩形的性質(zhì)結(jié)合頂點(diǎn)A （1，0），對角線的交點(diǎn)P（

5

2

，1），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出C和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線解析式為y=kx+b（k≠0），若過E點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，則直線必定過P點(diǎn)，求出k和b的值即可；
（3）首先求出矩形的面積，過C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，求出直線與AD或AB的交點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出直線的解析式，求出對應(yīng)的系數(shù)，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，頂點(diǎn)A （1，0），對角線的交點(diǎn)P（

5

2

，1），
∴

1+xc

2

=

5

2

，y_D=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；

（2）設(shè)直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∵過E點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，
∴該直線經(jīng)過點(diǎn)P（

5

2

，1），
由題意得

5 2 k+b=1 3 2 k+b=0

，
解得

k=1 b=- 3 2

．
∴直線解析式為y=x-

3

2

；

（3）由題意知，矩形ABCD的面積為6，如圖1，
∵過C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，
∴S_△CDN=

1

2

DC•DN=

1

2

×3×DN=

3

7

×6，
∴DN=

12

7

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

2

7

），
∴直線經(jīng)過N點(diǎn)和C點(diǎn)，
設(shè)經(jīng)過AD邊的直線解析式為y=mx+n（m≠0），
由題意得

4m+n=2 m+n= 2 7

，
解得m=

4

7

，n=-

2

7

，
∴直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-

2

7

）；
過C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，如圖2
∴S_△CBN=

1

2

BC•BN=

1

2

×2×BN=

3

7

×6，
解得BN=

18

7

，
∴AN=

3

7

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（

10

7

，0），
設(shè)經(jīng)過AB邊的直線解析式為y=ax+b（a≠0），
由題意得

4a+b=2 10 7 a+b=0

，
解得a=

7

9

，b=-

10

9

．
∴直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-

10

9

）；
綜上所述M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

2

7

）或（0，-

10

9

）．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及函數(shù)解析式的求法，特別是第（3）小問有兩種可能性，此題難度不大，但是�？嫉脑囶}．