Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l別交x軸和y軸于點(diǎn)A（－3，0），B（0，3）．

（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求⊙P的直徑長(zhǎng)；

（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x－別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為圓心，2為半徑畫圓．

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線l1與⊙Q相切；

②設(shè)⊙Q與直線l1相交于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)QM，QN．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②（，）或（，）．

【解析】

（1）證明△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長(zhǎng)=BC=AB，即可求解；

（2）證明圓的半徑，即可求解；

（3）分點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方、點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）如圖1，連接BC，

∵∠BOC＝90°，∴點(diǎn)P在BC上，

∵⊙P與直線l1相切于點(diǎn)B，

∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，

∴△ABC為等腰直角三角形，

則⊙P的直徑長(zhǎng)＝BC＝AB＝；

（2）①過(guò)點(diǎn)作CM⊥AB，

由直線l2：y＝3x－3得：點(diǎn)C（1，0），

則圓的半徑，

故點(diǎn)M是圓與直線l1的切點(diǎn)，

即：直線l1與⊙Q相切；

②如圖3，

當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方時(shí)，

由題意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，3m－3），則點(diǎn)N（m，m＋3），

則 ，

解得：；

當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方時(shí)，

同理可得：；

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）．