Question

【題目】定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形是“等對(duì)角四邊形”， ， ， ．求， 的度數(shù)．

（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

① 小紅畫(huà)了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”（如圖2），其中， ，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論．

② 由此小紅猜想：“對(duì)于任意‘等對(duì)角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例．

（3）已知：在“等對(duì)角四邊形”中， ， ，AB=AD=4，．求∠D和對(duì)角線的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）①證明見(jiàn)解析；②不正確；（3）∠D=90°，AC=8

【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”得出∠D=∠B=80°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠C即可；

（2）①連接BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；

②不正確．舉一個(gè)反例即可．

（3）分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，連接AC，易證⊿ABC≌⊿ADC，得出∠BCA=30°，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，從而求出AC；

②當(dāng)∠BCD=∠DAB=120°時(shí)，不成立．

試題解析：（1）∵等對(duì)角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，

∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，

∴．

（2）①如圖，連接BD，

∵AB＝AD，∴．

∵，∴．

∴CB＝CD．

②不正確，反例如圖，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD．

(3)分兩種情況：

①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，連接AC，

∵AD=AB，

∴Rt⊿ADC≌Rt⊿ABC，

∴∠ACD=∠ACB=30°

在Rt⊿ABC中，∠ACB=30°，AB=4，

∴AC=2AB=2×4=8;

②當(dāng)∠BCD=∠DAB=120°時(shí)，不成立.