【題目】如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點,連接EF.
(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;
②求EF的長;
(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點N,CN=1,CE=,求的值.
【答案】(1);(2)①四邊形AEMF為菱形,理由詳見解析;②;(3).
【解析】
試題分析:(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF≌S△DEF,則易得S△ABC=4S△AEF,再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點O,如圖②,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,先證明△CME∽△CBA得到==,解出x后計算出CM=,再利用勾股定理計算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計算EF;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計算出x=,則可計算出FH和BH,接著利用勾股定理計算出BF,從而得到AF的長,于是可計算出的值.
試題解析:(1)如圖①,
∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四邊形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,
∴AE=;
(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下:
如圖②,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵M(jìn)F∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四邊形AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點O,如圖②,
設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,
∵四邊形AEMF為菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴==,即==,解得x=,CM=,
在Rt△ACM中,AM===,
∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,
∴EF=2×=;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=,
∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴=.
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【題目】文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時,畫出圖形,寫出“已知”,“求證”(如圖),她們對各自所作的輔助線描述如下:
文文:“過點A作BC的中垂線AD,垂足為D”;
彬彬:“作△ABC的角平分線AD”.
數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后,說:“彬彬的作法是正確的,而文文的作法需要訂正.”
(1)請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里;
(2)根據(jù)彬彬的輔助線作法,完成證明過程.
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【題目】定義:有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.
(1)已知:如圖1,四邊形是“等對角四邊形”, , , .求, 的度數(shù).
(2)在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時:
① 小紅畫了一個“等對角四邊形”(如圖2),其中, ,此時她發(fā)現(xiàn)成立.請你證明此結(jié)論.
② 由此小紅猜想:“對于任意‘等對角四邊形’,當(dāng)一組鄰邊相等時,另一組鄰邊也相等”.你認(rèn)為她的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例.
(3)已知:在“等對角四邊形”中, , ,AB=AD=4,.求∠D和對角線的長.
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【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且OA=OB.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AD=4,∠AOD=60°,求AB的長.
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【題目】下列關(guān)于分式方程增根的說法正確的是( )
A.使所有的分母的值都為零的解是增根
B.分式方程的解為零就是增根
C.使分子的值為零的解就是增根
D.使最簡公分母的值為零的解是增根
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【題目】圖1、圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段AC的兩個端點均在小正方形的頂點上.
(1)如圖1,點P在小正方形的頂點上,在圖1中作出點P關(guān)于直線AC的對稱點Q,連接AQ、QC、CP、PA,并直接寫出四邊形AQCP的周長;
(2)在圖2中畫出一個以線段AC為對角線、面積為6的矩形ABCD,且點B和點D均在小正方形的頂點上.
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【題目】下面是揚帆中學(xué)九年八班43名同學(xué)家庭人口的統(tǒng)計表:這43個家庭人口的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
家庭人口數(shù)(人) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
學(xué)生人數(shù)(人) | 3 | 15 | 10 | 8 | 7 |
A.5,6B.3,4C.3,5D.4,6
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