【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑作半圓⊙O,交AC于點D,過點D作DE⊥BC,垂足為點E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)求證:BD2=ABBE.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°,繼而得出點D是AC中點,判斷出OD是三角形ABC的中位線,利用中位線的性質(zhì)得出∠ODE=90°,這樣可判斷出結(jié)論.
(2)根據(jù)題意可判斷△BED∽△BDC,從而可得BD2=BCBE,將BC替換成AB即可得出結(jié)論.
證明:(1)連接OD、BD,則∠ADB=90°(圓周角定理),
∵BA=BC,
∴CD=AD(三線合一),
又∵AO=OB,
∴OD是△ABC的中位線,
∴OD∥BC,
∵∠DEB=90°,
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,
故可得DE為⊙O的切線;
(2)∵∠EBD=∠DBC,∠DEB=∠CDB,
∴△BED∽△BDC,
∴,
又∵AB=BC,
∴ ,
故BD2=ABBE.
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【題目】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它們除顏色外都相同),現(xiàn)隨機從中摸出10枚記下顏色后放回,這樣連續(xù)做了10次,記錄了如下的數(shù)據(jù):
根據(jù)以上數(shù)據(jù),估算袋中的白棋子數(shù)量為( )
A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,點E為AB的中點.
(1)求證:△ADC∽△ACB.
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A,C的坐標分別為A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求過點A,B的直線的函數(shù)表達式;
(2)在x軸上找一點D,連接BD,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,如P,Q分別是AB和AD上的動點,連接PQ,設(shè)AP=DQ=m,問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似?如存在,請求出的m值;如不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分線(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)若(1)中所作的角平分線交AD于點E,AF⊥BE,垂足為點O,交BC于點F,連接EF.求證:四邊形ABFE為菱形.
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【題目】四張撲克牌的點數(shù)分別是2、3、4、8,將它們洗勻后背面朝上放在桌面上.
(1)從中隨機抽取一張牌,求這張牌的點數(shù)是偶數(shù)的概率;
(2)從中先隨機抽取一張牌,接著再抽取一張牌,求這兩張牌的點數(shù)都是偶數(shù)的概率.
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【題目】如圖,拋物線的對稱軸為,且過點,有下列結(jié)論:①>0;②>0;③;④>0.其中正確的結(jié)論是( )
A.①③B.①④C.①②D.②④
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【題目】在△ABC中,AB=AC≠BC,點D和點A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).(不必解答)
(1)小聰先從特殊問題開始研究,當α=90°,β=30°時,利用軸對稱知識,以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個問題.
請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是 三角形;∠ADB的度數(shù)為 .
(2)在原問題中,當∠DBC<∠ABC(如圖1)時,請計算∠ADB的度數(shù);
(3)在原問題中,過點A作直線AE⊥BD,交直線BD于E,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請直接寫出線段BE的長為 .
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