【題目】已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB,連CD、CF.
(1)如圖1,當(dāng)E、D分別在AC和AB上時(shí),求證:CD=CF;
(2)如圖2,△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度,判斷(1)中CD與CF的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,并加以證明;
(3)如圖3,AE=,AB=,將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,當(dāng)四邊形CEFB為菱形時(shí),直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)成立,理由詳見(jiàn)解析;(3)CF的值為6或4.
【解析】
(1)連接FD.證明△ADC≌△EDF(SAS),推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問(wèn)題;
(2)成立,連接FD,證明△ADC≌△EDF(SAS),推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問(wèn)題;
(3)分兩種情形分別畫(huà)出圖形,利用(2)中結(jié)論求出CD即可解決問(wèn)題.
(1)證明:連接FD,
∵AD=ED,∠ADE=90°,
∴∠DAC=∠AED=45°,
∵四邊形BCEF是平行四邊形,∠BCE=90°,
∴四邊形BCEF是矩形,
∴∠CEF=∠AEF=90°,BC=EF=AC,
∴∠DEF=45°,
∴∠A=∠DEF,
∴△ADC≌△EDF(SAS),
∴DC=DF,∠DCA=∠DFE,
∴∠FDC=∠FEC=90°,從而△DFC為等腰直角三角形,
∴CD=CF;
(2)解:成立.
理由:連接FD,
∵AD⊥DE,EF⊥AC,
∴∠DAC=∠DEF,又AD=ED,AC=EF,
∴△ADC≌△EDF(SAS),
∴DC=DF,∠ADC=∠EDF,即∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC,
∴∠FDC=∠ADE=90°,
∴△DFC為等腰直角三角形,
∴CD=CF;
(3)解:如圖3﹣1中,設(shè)AE與CD的交點(diǎn)為M,
∵CE=CA,DE=DA,
∴CD垂直平分AE,
∴,DM=,
∴CD=DM+CM=,
∵CF=CD
∴CF=6;
如圖3﹣2中,設(shè)AE與CD的交點(diǎn)為M,
同法可得CD=CM﹣DM=,
∴CF=CD=4,
綜上所述,滿足條件的CF的值為6或4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+4x+c(a≠0)的圖象與x軸交A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=﹣2x﹣6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△APC的面積為S,試求S的最大值;
(3)若P為拋物線的頂點(diǎn),且直角三角形APQ的直角頂點(diǎn)Q在y軸上,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)、點(diǎn)在半徑為的上,為上一動(dòng)點(diǎn),為軸上一定點(diǎn),且當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為加快城鄉(xiāng)對(duì)接,建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村,某地區(qū)對(duì)兩地間的公路進(jìn)行改建.如圖,兩地之間有一座山,汽車原來(lái)從地到地需途徑地沿折線行駛,現(xiàn)開(kāi)通隧道后,汽車可直接沿直線行駛.己知千米,. (結(jié)果精確到千米,參考數(shù)據(jù):)
(1)開(kāi)通隧道前,汽車從地到地大約要走多少千米?
(2)開(kāi)通隧道后,汽車從地到地大約可以少走多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著天氣的逐漸炎熱(如圖1),遮陽(yáng)傘在我們的日常生活中隨處可見(jiàn)如圖2所示,遮陽(yáng)傘立柱OA垂直于地面,當(dāng)將遮陽(yáng)傘撐開(kāi)至OD位置時(shí),測(cè)得∠ODB=45°,當(dāng)將遮陽(yáng)傘撐開(kāi)至OE位置時(shí),測(cè)得∠OEC=30°,且此時(shí)遮陽(yáng)傘邊沿上升的豎直高度BC為20cm,求若當(dāng)遮陽(yáng)傘撐開(kāi)至OE位置時(shí)傘下陰涼面積最大,求此時(shí)傘下半徑EC的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《榜樣閱讀》是中國(guó)青年報(bào)·中青在線聯(lián)合酷我音樂(lè)共同打造的首檔青年閱 讀分享類音頻節(jié)目,青春偶像傳頌經(jīng)典、講述成長(zhǎng)故事,用聲音掀起新時(shí)代青年閱讀熱潮.某 中學(xué)為了滿足學(xué)生的閱讀需求,購(gòu)進(jìn)了一批圖書(shū),并前后兩次購(gòu)買(mǎi)兩種書(shū)架,其中第一次購(gòu) 買(mǎi)鐵質(zhì)書(shū)架個(gè),木質(zhì)書(shū)架個(gè),共花費(fèi)元;第二次購(gòu)買(mǎi)鐵質(zhì)書(shū)架個(gè),木質(zhì)書(shū)架個(gè),共花費(fèi)元,且兩次購(gòu)買(mǎi)的兩種書(shū)架單價(jià)不變.
(1)求這兩種書(shū)架的單價(jià)分別為多少元?
(2)若該學(xué)校計(jì)劃再次購(gòu)買(mǎi)這兩種書(shū)架共個(gè),且要求鐵質(zhì)書(shū)架的數(shù)量不多于木質(zhì)書(shū)架數(shù) 量的倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案,并求出最少費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在中,,都是的半徑,過(guò)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點(diǎn)在上,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,若,求證:四邊形是平行四邊形;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)在上,連接,且,點(diǎn)在上,連接,,交于點(diǎn),且,若,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上,,拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).
(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),作軸交于點(diǎn),求周長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,G是邊AB的中點(diǎn),平行于AB的動(dòng)直線l分別交△ABC的邊CA、CB于點(diǎn)M、N,設(shè)CM=m.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求△MNG的面積;
(2)若點(diǎn)G關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G′,請(qǐng)求出點(diǎn)G′ 恰好落在△ABC的內(nèi)部(不含邊界)時(shí),m的取值范圍;
(3)△MNG是否可能為直角三角形?如果能,請(qǐng)求出所有符合條件的m的值;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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