Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G是邊AB的中點(diǎn)，平行于AB的動(dòng)直線l分別交△ABC的邊CA、CB于點(diǎn)M、N，設(shè)CM＝m.

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求△MNG的面積；

（2）若點(diǎn)G關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G′，請(qǐng)求出點(diǎn)G′ 恰好落在△ABC的內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，m的取值范圍；

（3）△MNG是否可能為直角三角形？如果能，請(qǐng)求出所有符合條件的m的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜m＜4；（3）能，m＝2或

【解析】分析：（1）由l//AB可證△CMN∽△CAB利用相似的性質(zhì)即可求出△MNG的邊MN及MN邊上的高，利用三角形的面積公式即可得出答案；

（2）根據(jù)點(diǎn)G關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)G′分別落在AB邊、AC邊時(shí)的m值，即可求出m的取值范圍；

（3）分三種情況討論（△MNG的三個(gè)內(nèi)角分別為90°），即可得出答案.

詳解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，S△MNG＝＝．

（2）當(dāng)點(diǎn)G關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)G′落在AB邊時(shí)，m＝4，

當(dāng)點(diǎn)G關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)G′落在AC邊時(shí)，點(diǎn)M是AG′的中點(diǎn)，

由△AGG′∽△ACB，

可求AG′＝，

∴CM＝m＝4－＝，

∴點(diǎn)G′恰好落在△ABC的內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，＜m＜4，

（3）△MNG能為直角三角形，

①當(dāng)∠MGN＝90°時(shí)，

證得四邊形CMGN為矩形，

∴M是AC的中點(diǎn)，

∴m＝2，

②當(dāng)∠GMN＝90°時(shí)，

＝，

m＝，

③當(dāng)∠GNM＝90°時(shí)，＝，

m＝－（不合題意，舍去），

∴m＝2或m＝時(shí)，△MNG是直角三角形.