Question

【題目】P是△ABC一邊上的一點(diǎn)（P不與A、B、C重合），過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（ ）

A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題根據(jù)相似線的定義，可知截得的三角形與△ABC有一個(gè)公共角.①公共角為∠A時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠C時(shí)，即圖中PD∥BC時(shí)，△APD∽△ACB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，即圖中當(dāng)PF⊥AB時(shí)，△APF∽△ABC；②公共角為∠C時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠A時(shí)，即圖中PE∥AB時(shí)，△CPE∽△CAB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，根據(jù)∠CPB<60°，可知此時(shí)不成立；③公共角為∠B，不成立.

解：①公共角為∠A時(shí)：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠C時(shí)，即圖中PD∥BC時(shí)，△APD∽△ACB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，即圖中當(dāng)PF⊥AB時(shí)，△APF∽△ABC；

②公共角為∠C時(shí)：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠A時(shí)，即圖中PE∥AB時(shí)，△CPE∽△CAB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此時(shí)不成立；③公共角為∠B，不成立.

綜上最多有3條.

故選C．