Question

【題目】定義：如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線于點(diǎn)P，連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．

運(yùn)用：如圖2，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）兩點(diǎn)

（1）C（4，），D（4，），E（4，），哪個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝4的“等角點(diǎn)”；

（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”，其中m＞2，∠APB＝α，求證：tan．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C；（2）見解析

【解析】

（1）點(diǎn)B關(guān)于直線x＝4的對(duì)稱點(diǎn)為B′（10，），由待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式為y＝﹣x+，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，即可得出結(jié)果；

（2）過點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)P，作BH⊥l于點(diǎn)H，由點(diǎn)A和A′關(guān)于直線l對(duì)稱，得出∠APG＝∠A′PG，證明△AGP∽△BHP，得出＝，求出m＝，由∠APB＝α，AP＝A′P，得出∠A＝∠A′＝，在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．

（1）解：點(diǎn)B關(guān)于直線x＝4的對(duì)稱點(diǎn)為B′（10，﹣），

設(shè)直線AB′的解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線AB′的解析式為：y＝﹣x+，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，

∴點(diǎn)C（4，）是點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝4的“等角點(diǎn)”；

（）證明：過點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)P，作BH⊥l于點(diǎn)H，如圖所示：

∵點(diǎn)A和A′關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴∠APG＝∠A′PG，

∵∠BPH＝∠A′PG，

∴∠APG＝∠BPH，

∵∠AGP＝∠BHP＝90°，

∴△AGP∽△BHP，

∴＝，

即：＝，

∴mn＝2，

∴m＝，

∵∠APB＝α，AP＝A′P，

∴∠A＝∠A′＝，

在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．