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【題目】已知如圖,直線EFAB、CD分別相交于點E、F.

(1)如圖1,若∠1=120°,2=60°,求證ABCD;

(2)在(1)的情況下,若點P是平面內的一個動點,連結PE、PF,探索∠EPF、PEB、PFD三個角之間的關系;

①當點P在圖2的位置時,可得∠EPF=PEB+∠PFD;

請閱讀下面的解答過程,并填空(理由或數學式)

解:如圖2,過點PMNAB,

則∠EPM=PEB_____

ABCD(已知),MNAB(作圖)

MNCD_____

∴∠MPF=PFD

∴∠_____+∠_____=PEB+∠PFD(等式的性質)

即∠EPF=PEB+∠PFD

②當點P在圖3的位置時,∠EPF、PEB、PFD三個角之間有何關系并證明.

③當點P在圖4的位置時,請直接寫出∠EPF、PEB、PFD三個角之間的關系:_____

【答案】兩直線平行,內錯角相等如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行∠EPMMPFEPF+PFD=PEB

【解析】

(1)根據對頂角相等可得∠BEF的度數,根據同旁內角互補,兩直線平行,即可得出結論;

(2)①過點PMN∥AB,根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB,且有MN∥CD,所以∠MPF=∠PFD,然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB+∠PFD.

②③的解題方法與①一樣,分別過點PMN∥AB,然后利用平行線的性質得到三個角之間的關系.

1)∵∠1=120°,

∴∠BEF=120°

又∵∠2=60°,

∴∠2+BEF=180°,

ABCD;

2)①如圖2,過點PMNAB,則∠EPM=PEB(兩直線平行,內錯角相等).

ABCD(已知),MNAB(作圖),

MNCD(平行于同一條直線的兩條直線互相平行).

∴∠MPF=PFD

∴∠EPM+FPM=PEB+PFD(等式的性質),

即∠EPF=PEB+PFD,

故答案為:兩直線平行,內錯角相等;平行于同一條直線的兩條直線互相平行;∠EPM,∠MPF;

②∠EPF+PEB+PFD=360°;

證明:如圖3,過作PMAB

ABCD,MPAB

MPCD,

∴∠BEP+EPM=180°,∠DFP+FPM=180°

∴∠BEP+EPM+FPM+PFD=360°,

即∠EPF+PEB+PFD=360°

③∠EPF+PFD=PEB

理由:如圖4,過作PMAB

ABCD,MPAB,

MPCD,

∴∠PEB=MPE,∠PFD=MPF,

∵∠EPF+FPM=MPE

∴∠EPF+PFD=PEB

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(2)

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