二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=
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時,有最大值25,而方程ax2+bx+c=0的兩根α、β,滿足α33=19,求a、b、c.
分析:設(shè)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0),根據(jù)當(dāng)x=
1
2
時,有最大值25即可求出頂點(diǎn),再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.
解答:解:設(shè)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0),
∵當(dāng)x=
1
2
時,有最大值25,
即:頂點(diǎn)為(
1
2
,25)
,
y=a(x-
1
2
)2+25=ax2-ax+
1
4
a+25

由已知得:ax2-ax+
1
4
a+25=0
的兩根為α、β,滿足α33=19,
∴(α+β)[(α+β)2-3αβ]=19,
根據(jù)兩根之和與兩根之積的關(guān)系:α+β=1,αβ=
1
4
+
25
a

代入得:1-3(
1
4
+
25
a
)=19,
解得:a=-4,
∴y=-4x2+4x+24,即a=-4,b=4,c=24.
點(diǎn)評:本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及根與系數(shù)的關(guān)系,難度較大,關(guān)鍵是正確設(shè)出二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式再根據(jù)已知條件解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)C(0,
3
)
,當(dāng)x=-4和x=2時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y相等,連接AC、BC.
(1)求實(shí)數(shù)a,b,c的值;
(2)若點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動,其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時,連接MN,將△BMN沿MN翻折,B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處,求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn),PQ:QR=1:3,求這個二次函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,則下列說法:①abc>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④當(dāng)-1<x<3時,y>0.其中正確結(jié)論的序號是
②③④
②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•孝感)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的對稱軸是直線x=1,其圖象的一部分如圖所示.對于下列說法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④當(dāng)-1<x<3時,y>0.
其中正確的是
①②③
①②③
(把正確的序號都填上).

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