如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn),PQ:QR=1:3,求這個(gè)二次函數(shù)解析式.
分析:根據(jù)二次函數(shù)y=ax
2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),利用頂點(diǎn)法設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)
2+4.根據(jù)直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn),則可確定P點(diǎn)的坐標(biāo),并設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為(x
1,y
1)和(x
2,y
2).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與PQ:QR=1:3求得|x
2|與|x
1|的比值.直線y=x+4與拋物線相交于Q、R兩點(diǎn)列出方程a(x-2)
2+4=x+4,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到
,求出x
1、x
2、a的值.因此拋物線即可確定.
解答:解:∵圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),
∴所以設(shè)y=a(x-2)
2+4 ①,
P點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,4),設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為(x
1,y
1)和(x
2,y
2),
則y
1=x
1+4,y
2=x
2+4,
∴
|PQ|===|x1|,
|PR|==|x2|,
∵PQ:QR=1:3且P在QR之處,
∴PQ:PR=PQ:(PQ+QR)=1:4,即
|x1|:
|x2|=1:4,
∴|x
2|=4|x
1|②,
又x
1,x
2是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
∴a(x-2)
2+4=x+4,即ax
2-4(4a+1)x+4a=0,
∴
a(x2-x+4)=0,
由韋達(dá)定理,得
,
由③得,x
1、x
2同號,再由②得 x
2=4x
1,
∴x
1=±1,x
2=±4,從④得a=1或
a=-,
∴y=x
2-4x+8或
y=-x2+x+,
答:這個(gè)二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x
2-4x+8或
y=-x2+x+.
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.