如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)C(0,
3
)
,當(dāng)x=-4和x=2時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y相等,連接AC、BC.
(1)求實(shí)數(shù)a,b,c的值;
(2)若點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動,其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時,連接MN,將△BMN沿MN翻折,B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處,求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由于x=-4和x=2時,拋物線的函數(shù)相等,那么它的對稱軸為x=-1,可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式,從而得到a、b、c的值;
(2)連接AC,根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),易求得AC、BC、AB的長,從而證得△ACB是直角三角形,且∠ABC=60°,根據(jù)折疊的性質(zhì)知BM=BN=MP=PN,故四邊形PMBN是菱形,此時PN∥AB,可得△CPN∽△CAB,利用所得比例線段,即可求得t值以及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)由(2)求得∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形也必為直角三角形,可分三種情況考慮:
①顯然BN中點(diǎn)的距離要大于1,由(2)求得的t值可得到
1
2
BN的長要小于1,因此以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸沒有交點(diǎn),因此Q不可能為直角頂點(diǎn);
②若∠BNQ=90°,則有兩種情況:
1)∠NBQ=60°,此時Q為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn),由于N不是線段BC的中點(diǎn),故NQ與AC不平行,圖此時∠BNQ不可能是90°;
2)∠NBQ=30°,此時Q點(diǎn)與點(diǎn)P重合,顯然此時∠BNQ不等于90°;
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q,此時∠MBQ=∠MQB=30°,可得QM=BM=PM,即x軸垂直平分PQ,此時P、Q關(guān)于x軸對稱,由此可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意知:拋物線的對稱軸為x=-1,則B(1,0)
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+3)(x-1),
則有:a(0+3)(0-1)=
3
,a=-
3
3

∴y=-
3
3
(x+3)(x-1)=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3

故a=-
3
3
,b=-
2
3
3
,c=
3
;

(2)∵A(-3,0),B(1,0),C(0,
3
),
∴OA=3,OB=1,OC=
3
,AB=4,AC=2
3
,BC=2
故△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∠ABC=60°
由題意知:BM=BN=MP=PN=t,
所以四邊形PNBM是菱形,
∴PN∥AB,
則有:
PN
AB
=
CN
BC
,即
t
4
=
2-t
2
,
解得t=
4
3

過P作PE⊥AB于E,
在Rt△PME中,∠PME=60°,PM=t=
4
3
,
故PE=
2
3
3
,ME=
2
3

∵OM=BM-OB=t-1=
1
3
,
∴OE=OM+EM=1,
即P(-1,
2
3
3
);

(3)由(1)知:拋物線的對稱軸為x=-1,精英家教網(wǎng)
所以點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上;
由(2)知,∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則△BNQ必為直角三角形;
①若∠BQN=90°;
由于BN=BM=t=
4
3
,則
1
2
BN=
2
3
;
而BN中點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離大于1,
故以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸無交點(diǎn),
所以∠BQN≠90°,此種情況不成立.
②若∠BNQ=90°;
當(dāng)∠NBQ=60°時,Q、E重合,此時∠BNQ≠90°,
當(dāng)∠NBQ=30°時,Q、P重合,此時∠BNQ≠90°,
故此種情況也不成立.
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q,
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°,EM⊥PQ,
∴P、Q關(guān)于x軸對稱,故Q(-1,-
2
3
3
);
綜上所述,存在符合條件的Q點(diǎn),且坐標(biāo)為Q(-1,-
2
3
3
).
點(diǎn)評:此題考查了拋物線的性質(zhì)、函數(shù)解析式的確定,直角三角形、菱形的判定和性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理等重要知識,綜合性強(qiáng),難度較大.
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1
2
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo),寫出一條正確的結(jié)論,并通過計(jì)算說明;
(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點(diǎn)Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn),試問當(dāng)x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個動圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時,求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點(diǎn),N是線段OC上一動點(diǎn),且ON=2OM,分別連接MC、MN.當(dāng)△MNC的面積最大時,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點(diǎn)P,與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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