【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
【答案】(1)B(3,0),C(0,3),(2)△CDB為直角三角形;(3)S=
【解析】試題分析:(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)分別求出△CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;
(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個(gè)階段:
(I)當(dāng)0<t≤時(shí),如答圖2所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形;
(II)當(dāng)<t<3時(shí),如答圖3所示,此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形.
試題解析:(1)∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,
∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,
令x=0,得y=3,
∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,
∴B(3,0).
(2)△CDB為直角三角形.
理由如下:由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).
如答圖1所示,
過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.
過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC=;
在Rt△CND中,由勾股定理得:CD=;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD=.
∵BC2+CD2=BD2,∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵B(3,0),C(0,3),
∴,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3,直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到,
∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m,
∵B(3,0),D(1,4),
∴,
解得:m=﹣2,n=6,
∴y=﹣2x+6.連接CQ并延長,射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G(1.5,3).
在△COB向右平移的過程中:
(I)當(dāng)0<t≤1.5時(shí),如答圖2所示:設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,則: ,
解得,
∴F(3﹣t,2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PEPQ=0.5PBPK=0.5BEyF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t2t=-1.5t2+3t;
(II)當(dāng)1.5<t<3時(shí),如答圖3所示:設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J.
∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.直線BD解析式為y=﹣2x+6,
令x=t,得y=6﹣2t,
∴J(t,6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PBPJ﹣0.5PBPK=0.5(3﹣t)(6﹣2t)﹣0.5(3﹣t)2=0.5t2﹣3t+4.5.
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S= .
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(2)補(bǔ)全分組后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)分組后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為“中”的所占的百分比和對應(yīng)扇形的圓心角.
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(1)請?jiān)趫D中畫出△AEF.
(2)請?jiān)趚軸上找一個(gè)點(diǎn)P,使PA+PE的值最小,并直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
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