【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點AC分別在x軸,y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,AC=20,D與點A關(guān)于y軸對稱,點E、F分別是線段ADAC上的動點(點E不與點A、D重合),且∠CEF=ACB.

1)直接寫出BC的長是   ,D的坐標是   ;

2)證明:AEFDCE相似;

3)當(dāng)EFC為等腰三角形時,求點E的坐標

【答案】1 A-120),D12,0);(2證明見解析;3)點E的坐標為(80)或(,0.

【解析】試題分析:1)利用矩形的性質(zhì),在中,利用三角函數(shù)求出的長度,從而得到點坐標;由點與點關(guān)于軸對稱,進而得到點的坐標;
2欲證△AEF與△DCE相似,只需要證明兩個對應(yīng)角相等即可.如圖①,在△AEF與△DCE中,易知從而問題解決;
3)當(dāng)為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論:
①當(dāng)時,此時△AEF與△DCE相似比為1,則有
②當(dāng)時,此時△AEF與△DCE相似比為,則有

③當(dāng)時, 點與點重合,這與已知條件矛盾,故此種情況不存在.

試題解析:(1)由題意

∵四邊形ABCO為矩形,AB=16

A點坐標為(12,0),

∵點D與點A關(guān)于y軸對稱,

D(12,0).


(2)D與點/span>A關(guān)于y軸對稱,∴∠CDE=CAO,

∵∠CEF=ACB,ACB=CAO,

∴∠CDE=CEF

又∵∠AEC=AEF+CEF=CDE+DCE(三角形外角性質(zhì))

∴∠AEF=DCE.

則在△AEF與△DCE中,∠CDE=CAO,AEF=DCE

∴△AEF∽△DCE.

(3)當(dāng)△EFC為等腰三角形時,有以下三種情況:

①當(dāng)CE=EF時,

∵△AEF∽△DCE

AE=CD=20,

OE=AEOA=2012=8,

E(8,0)

②當(dāng)EF=FC時,如圖②所示,過點FFMCEM,則點MCE中點,

∵△AEF∽△DCE,

解得

③當(dāng)CE=CF時,則有∠CFE=CEF,

∵∠CEF=ACB=CAO,

∴∠CFE=CAO,即此時點與點重合,這與已知條件矛盾.

綜上所述,當(dāng)△EFC為等腰三角形時,E的坐標為(8,0)

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