【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn)(能與B重合,不與C重合),以DC為直徑的半圓O,交AC于點(diǎn)E.
(1)如圖1,若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,半圓交AB于點(diǎn)F,求證:AE=AF.
(2)設(shè)∠B=60°,若半圓與AB相切于點(diǎn)T,在圖2中畫出相應(yīng)的圖形,求∠AET的度數(shù).
(3)設(shè)∠B=60°,BC=6,△ABC的外心為點(diǎn)P,若點(diǎn)P正好落在半圓與其直徑組成的封閉圖形的內(nèi)部,直接寫出DC的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)75°;(3)4<DC≤6.
【解析】
(1)連接BE,CF,根據(jù)已知條件,推斷出△ABE≌△ACF即可;
(2)連接OT、OE、ET,根據(jù)已知推出∠OEC和∠TEO的度數(shù),即可得出答案;
(3)以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)DC=a,寫出圓O的解析式,再根據(jù)題意列出不等式計(jì)算即可.
證明:(1)如圖1:連接BE,CF,
∵此時(shí)BC為直徑,
∴∠BEC=∠CFB=90°,
∴∠AEB=∠AFC=90°,
又∵∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABE≌△ACF,
∴AE=AF;
(2)如圖2:連接OT、OE、ET,
∵AB=AC,∠B=60°,
∴∠C=60°,
∵OE=OC,
∴∠EOC=∠OEC=60°,
∵AB是圓的切線,
∴OT⊥AB,
∵∠BOT=90°-60°=30°,
∴∠TOE=90°,
∵OT=OE,
∴∠TEO=45°,
∴∠AET=180°-45°-60°=75°;
(3)以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC為正三角形,
∵BC=6,
∴C(6,0),A(3,),
∴△ABC的外心P(3,),
設(shè)DC=a,則圓O:,
當(dāng)P在封閉圖形的內(nèi)部時(shí),,
得a>4,
∴4<DC≤6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=2.將∠A向內(nèi)翻折,點(diǎn)A落在BC上,記為A′,折痕為DE.若將∠B沿EA′向內(nèi)翻折,點(diǎn)B恰好落在DE上,記為B′,則AB=____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)A是x正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)C在第一象限內(nèi),BC⊥AB于點(diǎn)B,∠OAB=∠BAC,當(dāng)AC=10時(shí),則過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)y=的比例系數(shù)k值為( 。
A.32 或 16B.48 或 64C.16 或 64D.32 或 80
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“勤勞”是中華民族的傳統(tǒng)美德,學(xué)校要求同學(xué)們?cè)诩依飵椭改缸鲆恍┝λ芗暗募覄?wù).在本學(xué)期開(kāi)學(xué)初,小穎同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)寒假在家做家務(wù)的總時(shí)間,設(shè)被調(diào)查的每位同學(xué)寒假在家做家務(wù)的總時(shí)間為x小時(shí),將做家務(wù)的總時(shí)間分為五個(gè)類別:A(0≤x<10),B(10≤x<20),C(20≤x<30),D(30≤x<40),E(x≥40).并將調(diào)查結(jié)果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)請(qǐng)根據(jù)以上信息直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值是 ,類別D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是 度;
(4)若該校有800名學(xué)生,根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生寒假在家做家務(wù)的總時(shí)間不低于20小時(shí).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-(x-t)(x-t+6)與直線y=x-1有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m、n.雙曲線y=的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限,則t的取值范圍是( )
A.t<0B.0<t<6C.1<t<7D.t<1或t>6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“新冠肺炎”肆虐,無(wú)數(shù)抗疫英雄涌現(xiàn),以下四位抗疫英雄是鐘南山、李蘭娟、李文亮、張定宇(依次記為).為讓同學(xué)們了解四位的事跡,老師設(shè)計(jì)如下活動(dòng):取四張完全相同的卡片,分別寫上四個(gè)標(biāo)號(hào),然后背面朝上放置,攪勻后每個(gè)同學(xué)從中隨機(jī)抽取一張,記下標(biāo)號(hào)后放回,老師要求每位同學(xué)依據(jù)抽到的卡片上的標(biāo)號(hào)查找相應(yīng)抗疫英雄的資料,并做成小報(bào).
(1)班長(zhǎng)在四種卡片中隨機(jī)抽到標(biāo)號(hào)為的概率為_______.
(2)平平和安安兩位同學(xué)抽到的卡片是不同英雄的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,連接AO,BO,則圖中陰影部分的面積之和為( 。
A.10﹣B.14﹣πC.12D.14
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是“已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:線段.求作:等腰,使,邊上的高為.作法:如圖,(1)作線段;(2)作線段的垂直平分線交于點(diǎn);(3)在射線上順次截取線段,連接.所以即為所求作的等腰三角形.
請(qǐng)回答:得到是等腰三角形的依據(jù)是:
①_____:
②_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過(guò)點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC,將沿BC所在的直線翻折,得到,連接OD.
(1)用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)如圖1,若點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上,且在x軸上方,求拋物線的解析式.
(3)設(shè)的面積為S1,的面積為S2,若,求a的值.
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