【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6．

【解析】試題分析：（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長(zhǎng)度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）證明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B．

∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC；

（2）在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ ，∴ ，∴ DE＝12．

∵ AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD．在Rt△AED中，．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本題滿分10分）

【感受聯(lián)系】在初二的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們感受過(guò)等腰三角形與直角三角形的密切聯(lián)系.等腰三角形作底邊上的高線可轉(zhuǎn)化為直角三角形，直角三角形沿直角邊翻折可得到等腰三角形等等.

【探究發(fā)現(xiàn)】某同學(xué)運(yùn)用這一聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.并給出了如下的部分探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整證明過(guò)程

已知：如圖，在△中， °，°.

求證： ．

證明：

【靈活運(yùn)用】該同學(xué)家有一張折疊方桌如圖①所示，方桌的主視圖如圖②.經(jīng)測(cè)得， ，將桌子放平，兩條桌腿叉開(kāi)的角度.

求：桌面與地面的高度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為貫徹政府報(bào)告中“大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新”的精神，某鎮(zhèn)對(duì)轄區(qū)內(nèi)所有的小微企業(yè)按年利潤(rùn)w（萬(wàn)元）的多少分為以下四個(gè)類型：A類（w＜10），B類（10≤w＜20），C類（20≤w＜30），D類（w≥30），該鎮(zhèn)政府對(duì)轄區(qū)內(nèi)所有小微企業(yè)的相關(guān)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，繪制成以下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）該鎮(zhèn)本次統(tǒng)計(jì)的小微企業(yè)總個(gè)數(shù)是 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中B類所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為 度，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）為了進(jìn)一步解決小微企業(yè)在發(fā)展中的問(wèn)題，該鎮(zhèn)政府準(zhǔn)備召開(kāi)一次座談會(huì)，每個(gè)企業(yè)派一名代表參會(huì)．計(jì)劃從D類企業(yè)的4個(gè)參會(huì)代表中隨機(jī)抽取2個(gè)發(fā)言，D類企業(yè)的4個(gè)參會(huì)代表中有2個(gè)來(lái)自高新區(qū)，另2個(gè)來(lái)自開(kāi)發(fā)區(qū)．請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出所抽取的2個(gè)發(fā)言代表都來(lái)自高新區(qū)的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°, AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E

求證：（1）△ACD≌△AED；（2）若AB=6，求△DEB的周長(zhǎng)。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某蓄水池的排水管每小時(shí)排水8m3，6小時(shí)可將滿池水全部排空．

（1）蓄水池的容積是____________ m3；

（2）如果增加排水管，使每小時(shí)排水量達(dá)到Q（m3），那么將滿池水排空所需時(shí)間為t（小時(shí)），則Q與t之間關(guān)系式為____________；

（3）如果準(zhǔn)備在5小時(shí)內(nèi)將滿池水排空，那么每小時(shí)的排水量至少為____________ m3/小時(shí)；

（4）已知排水管最多為每小時(shí)12m3，則至少____________小時(shí)可將滿池水全部排空．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點(diǎn)位置，AE=60cm．如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，經(jīng)過(guò)反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)位置．

（1）求證：△BEF∽△CDF；

（2）求CF的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，-3），C(2，-4）．

（1）在如圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A＇B＇C＇，并分別寫出A′，B′，C′的坐標(biāo)；

（2）將△ABC向左平移5個(gè)單位，請(qǐng)畫出平移后的△A″B″C″，并寫出△A″B″C″各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求出（2）中的△ABC在平移過(guò)程中所掃過(guò)的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE＋DF，試說(shuō)明理由．

（1）思路梳理

∵AB＝CD，

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∵∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠FDG＝180°，點(diǎn)F、D、G共線．

根據(jù)___________，SAS

易證△AFG≌___________△AEF

，得EF＝BE＋DF．

（2）類比引申

如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系______________∠B+∠D=180°

時(shí)，仍有EF＝BE＋DF．

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某小區(qū)便民超市為了了解顧客的消費(fèi)情況，在該小區(qū)居民中進(jìn)行調(diào)查，詢問(wèn)每戶人家每周到超市的次數(shù)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的，請(qǐng)問(wèn)：

（1）這種統(tǒng)計(jì)圖通常被稱為什么統(tǒng)計(jì)圖？（2）此次調(diào)查共詢問(wèn)了多少戶人家？

（3）超過(guò)半數(shù)的居民每周去多少次超市？（4）請(qǐng)將這幅圖改為扇形統(tǒng)計(jì)圖．

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