【題目】通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的.下面是一個案例,請補充完整.
原題:如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由.
(1)思路梳理
∵AB=CD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線.
根據___________,SAS
易證△AFG≌___________△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)類比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系______________∠B+∠D=180°
時,仍有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系,并寫出推理過程.
【答案】答案見解析.
【解析】
試題分析:(1)把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合,再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°時,EF=BE+DF,與(1)的證法類同;
(3)根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′,根據旋轉的性質,可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根據Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°,所以E′B2+BD2=E′D2,證△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2;
試題解析:(1)∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線,
在△AFE和△AFG中
,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF.
(2)∠B+∠D=180°時,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線,
在△AFE和△AFG中
,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF.
(3)猜想:DE2=BD2+EC2,
證明:連接DE′,根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2,
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
在△AE′D和△AED中,
∴△AE′D≌△AED(SAS),
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探究證明:
(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點E是BC上的一個動點,EG⊥AB,EF⊥AC,CD⊥AB,點G,F(xiàn),D分別是垂足.求證:CD=EG+EF;
猜想探究:
(2)如圖2,在△ABC中,AB=AC,點E是BC的延長線上的一個動點,EG⊥AB于G,EF⊥AC交AC延長線于F,CD⊥AB于D,直接猜想CD、EG、EF之間的關系為 CD=EG﹣EF ;
問題解決:
(3)如圖3,邊長為10的正方形ABCD的對角線相交于點O、H在BD上,且BH=BC,連接CH,點E是CH上一點,EF⊥BD于點F,EG⊥BC于點G,則EF+EG= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=,AF=,求AE的長.
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經過點(-1.-5),且與正比例函數(shù)y=x的圖象相交于點(2,m).
(1)求m的值;
(2)求一次函數(shù)y=kx+b的解析式;
(3)求這兩個函數(shù)圖像與x軸所圍成的三角形面積.
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【題目】保護生態(tài)環(huán)境,建設綠色社會已經從理念變?yōu)槿藗兊男袆樱郴S2009年1 月的利潤為200萬元.設2009年1 月為第1個月,第x個月的利潤為y萬元.由于排污超標,該廠決定從2009年1 月底起適當限產,并投入資金進行治污改造,導致月利潤明顯下降,從1月到5月,y與x成反比例.到5月底,治污改造工程順利完工,從這時起,該廠每月的利潤比前一個月增加20萬元(如圖).
⑴分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后y與x之間對應的函數(shù)關系式.
⑵治污改造工程完工后經過幾個月,該廠月利潤才能達到2009年1月的水平?
⑶當月利潤少于100萬元時為該廠資金緊張期,問該廠資金緊張期共有幾個月?
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【題目】嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時,對于b2﹣4ac>0的情況,她是這樣做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0變形為:
x2+x=﹣,…第一步
x2+x+()2=﹣+()2,…第二步
(x+)2=,…第三步
x+=(b2﹣4ac>0),…第四步
x=,…第五步
嘉淇的解法從第 步開始出現(xiàn)錯誤;事實上,當b2﹣4ac>0時,方程ax2+bx+c=0(a≠O)的求根公式是 .
用配方法解方程:x2﹣2x﹣24=0.
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【題目】(1)、如圖(1),AB∥CD,點P在AB、CD外部,若∠B=40°,∠D=15°,則∠BPD °.
(2)、如圖(2),AB∥CD,點P在AB、CD內部,則∠B,∠BPD,∠D之間有何數(shù)量關系?證明你的結論;
(3)、在圖(2)中,將直線AB繞點B按逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點M,如圖(3),若∠BPD=90°,∠BMD=40°,求∠B+∠D的度數(shù).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別是邊BC,AB上的中點,連接DE并延長至點F,使EF=2DF,連接CE、AF.
(1)證明:AF=CE;
(2)當∠B=30°時,試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由.
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【題目】已知△ABC中,∠A=25°,∠B=40°.
(1)求作:⊙O,使⊙O經過A、C兩點,且圓心落在AB邊上;
(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法.)
(2)求證:BC是(1)中所作⊙O的切線.
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