Question

2．如圖，拋物線y=a（x-1）²+$\sqrt{2}$（a≠0）經(jīng)過y軸正半軸上的點A，點B，C分別是此拋物線和x軸上的動點，點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，過D作DF∥BC交x軸于F點，則DF的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設點B的坐標為（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），點C坐標為（n，0），由AD平分△ABO的面積可知點D為線段OB的中點，結合DF∥BC可知DF是△OBC的中位線，即DF=$\frac{1}{2}$BC，用兩點間的距離公式表示出線段BC的長度，根據(jù)實數(shù)的平方非負可找出BC的最小值，從而得出結論．

解答 解：設點B的坐標為（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），點C坐標為（n，0）．
∵點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，
∴OD=BD，
又∵DF∥BC，
∴DF是△OBC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC．
根據(jù)兩點間的距離公式可知：
BC²=（m-n）²+$[a（m-1）^{2}+\sqrt{2}]^{2}$=（m-n）²+a²（m-1）⁴+2$\sqrt{2}$a（m-1）²+2，
結合拋物線開口向上可知a＞0，
∴（m-n）²≥0，a²（m-1）⁴≥0，2$\sqrt{2}$a（m-1）²≥0，
∴BC²≥2，
∴BC=$\sqrt{2}$．
∵DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用、兩點間距離公式以及實數(shù)的平方非負，解題的關鍵是根據(jù)實數(shù)的平方非負找出線段BC的最小值．本題屬于中檔題，難度不大，巧妙的利用了兩點間的距離公式尋找最值，兩點間的距離公式雖說高中知識，單在初中階段我們已經(jīng)經(jīng)常用到，此處使用給做題帶來了極大的方便，故在日常做題中應適度的增加該部分的練習．