【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA⊥OB,AB⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A(,1)在反比例函數(shù)的圖象上.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得S△AOP=S△AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE.直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上,說明理由.

【答案】(1);(2)P(,0);(3)E(,﹣1),在

【解析】

試題分析:(1)將點(diǎn)A(,1)代入,利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)先由射影定理求出BC=3,那么B(,﹣3),計(jì)算求出S△AOB=××4=.則S△AOP=S△AOB=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),列出方程求解即可;

(3)先解△OAB,得出∠ABO=30°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣1),即可求解.

試題解析:(1)∵點(diǎn)A(,1)在反比例函數(shù)的圖象上,∴k=×1=,∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為

(2)∵A(,1),AB⊥x軸于點(diǎn)C,∴OC=,AC=1,由射影定理得=ACBC,可得BC=3,B(,﹣3),S△AOB=××4=,S△AOP=S△AOB=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),∴×|m|×1=,∴|m|=,∵P是x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn),∴m=﹣,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0);

(3)點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上,理由如下:

∵OA⊥OB,OA=2,OB=,AB=4,∴sin∠ABO===,∴∠ABO=30°,∵將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE,∴△BOA≌△BDE,∠OBD=60°,∴BO=BD=,OA=DE=2,∠BOA=∠BDE=90°,∠ABD=30°+60°=90°,而BD﹣OC=,BC﹣DE=1,∴E(,﹣1),∵×(﹣1)=,∴點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上.

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(1)當(dāng)t=   s時(shí),以O(shè)B、OP為鄰邊的平行四邊形是菱形;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在OB的垂直平分線上時(shí),求t的值;

(3)將△OBP沿直線OP翻折,使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在x軸上,求t的值.

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