【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設(shè)運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y , 線段BP的長度記作y , y和y關(guān)于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.

(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒cm,當(dāng)t為何值時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是;
(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2 , 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQCM= S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(4)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)2,E( ,
(2)解:∵PQ∥AC,

∴△PBQ∽△ABC,

∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,

,即

解得:BF= t,

∴FD=BD﹣BF=8﹣ t,

又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,

∴y= (PQ+MC)FD= (t+10﹣2t)(8﹣ t)= t2﹣8t+40;


(3)解:存在;

∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40,

當(dāng)S四邊形PQCM= S△ABC時,y= t2﹣8t+40=20,

解得:t=10﹣5 ,或t=10+5 (不合題意,舍);

即:t=10﹣5 時,S四邊形PQCM= S△ABC


(4)解:假設(shè)存在某一時刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,

過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:

∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,

∴△AHM∽△ADB,

,

又∵AD=6,

,

∴HM= t,AH= t,

∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t,

在Rt△HMP中,MP2=( t)2+(10﹣ t)2= t2﹣44t+100,

又∵MC2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,

∵MP2=MC2,

t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2

解得 t1= ,t2=0(舍去),

∴t= s時,點M在線段PC的垂直平分線上.


【解析】解:(1)由圖2得,點M的運動速度為2cm/s,PQ的運動速度為1cm/s,

∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,

∴AP:AB=AM:AC,

∵AB=AC,

∴AP=AM,即10﹣t=2t,

解得:t= ,

∴當(dāng)t= 時,四邊形PQCM是平行四邊形,此時,圖2中反映這一情況的點是E( ,

所以答案是:2,E( , ).

【考點精析】通過靈活運用相似三角形的性質(zhì),掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題.

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1A、B兩種型號的設(shè)備每臺的價格是多少?

2)若污水處理公司購買設(shè)備的預(yù)算資金不超過125萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案?

3)若每月需處理的污水約2040m3,在不突破(2)中資金預(yù)算的前提下,為了節(jié)約資金,又要保證治污效果,請你為污水處理公司設(shè)計一種最省錢的方案.

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