Question

17．如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將矩形的一角沿過(guò)點(diǎn)B的折痕BM對(duì)折，使得點(diǎn)A落在線段EF上，記為N，則：
（1）∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°；
（2）△MGN是正三角形；
（3）EG=0.5GN；
（4）△MGN和△BGN的面積相等．
以上說(shuō)法，正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 先根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠ABM、∠MBN和∠NBC的關(guān)系，再由∠ABM+∠MBN+∠NBC=90°，繼而求出∠NBC的值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和周角的定義得到∠MNF的度數(shù)，從而求出∠MNG=60°，進(jìn)而判斷出△MNG為等邊三角形，利用中位線和等邊三角形，得出EG=0.5GN；最后用同底等高的三角形面積相等．

解答 解：∵折疊紙片使A點(diǎn)落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，
∴△ABM≌△NBM，
∴∠ABM=∠MBN，如圖，

延長(zhǎng)MN交BC于H，并過(guò)N作PQ⊥EF，交AD于P，交BC于Q，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AB，DC中點(diǎn)，
∴EF‖AD‖BC 且AE=EB，
∴PQ⊥AD，PQ⊥BC，且PN=NQ，
又∵∠MNP=∠HNQ （對(duì)頂角相等），
∴Rt△MNP≌Rt△HNQ，
∴MN=HN，
又∵BN⊥MN，BN=BN，
∴△BMN≌△BHN，
∴∠MBN=∠NBH=∠NBC，
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC，
∵∠ABM+∠MBN+∠NBC=90°，
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=90°÷3=30°，∴（1）正確，
∴∠FNB=150°，
∴∠MNF=360°-90°-150°=120°．
∴∠MNE=60°，
∴∠DMN=60°，
∴∠AMB=∠NMB=60°，
∴△MNG是等邊三角形，∴（2）正確；
∴AM=MN=NG
∵EF∥AD，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NG，∴（3）正確，
∵S_△MGN=$\frac{1}{2}$GN×AE，S_△BGN=$\frac{1}{2}$GN×BE
而AE=BE，
∴S_△MGN=S_△BGN，∴（4）正確，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°．