Question

【題目】如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EP與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，使∠PED＝∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求證：DE平分∠BEP；

（3）若⊙O的半徑為10，CF＝2EF，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）BE＝16．

【解析】

（1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線(xiàn)，只需推知OE⊥PE即可；

（2）由圓周角定理得到 ，根據(jù)“同角的余角相等”推知 ，結(jié)合已知條件證得結(jié)論；

（3）設(shè) ，則 ，由勾股定理可求EF的長(zhǎng)，即可求BE的長(zhǎng)．

（1）如圖，連接OE．

∵CD是圓O的直徑，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

又∵ ，即 ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

又∵點(diǎn)E在圓上，

∴PE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵AB、CD為⊙O的直徑，

∴ ，

∴ （同角的余角相等）．

又∵ ，

∴ ，

即ED平分∠BEP；

（3）設(shè) ，則 ，

∵⊙O的半徑為10，

∴ ，

在Rt△OEF中， ，即 ，

解得 ，

∴ ，

∴ ．