Question

【題目】如圖，已知∠MON＝90°，A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥ON，垂足為點(diǎn)B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，動(dòng)點(diǎn)E，F同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以2厘米/秒的速度沿OM方向運(yùn)動(dòng)，EF與OA交于點(diǎn)C，連接AE，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，△EOF與△ABO是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t取何值時(shí)，總有EF⊥OA．為什么？

（3）連接AF，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得S△AEF＝S四邊形AEOF？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）相似，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，t＝，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）依據(jù)兩組對(duì)邊成比例及夾角相等，得出△EOF∽△ABO．

（2）通過(guò)證明Rt△EOF∽Rt△ABO，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合等量代換，及三角形外角的性質(zhì)，即可證明EF⊥OA．

（3）根據(jù)S△AEF＝S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四邊形AEOF＝S梯形ABOF﹣S△ABE計(jì)算出S△AEF與S四邊形AEOF，根據(jù)已知條件寫(xiě)出關(guān)于t的方程，進(jìn)而可求出t的值．

解：（1）∵t＝1，

∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米，

又∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，

∴

又∵∠MON＝∠ABE＝90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OE＝1.5t，OF＝2t．

又∵AB＝3，OB＝4．

∴．

又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB＝∠EFO．

又∵∠AOB+∠FOC＝90°，

∴∠EFO+∠FOC＝90°，

∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF，

∵OE＝1.5t，OF＝2t，

∴BE＝4﹣1.5t

∴S△FOE＝OEOF＝×1.5t×2t＝t2，

S△ABE＝×（4﹣1.5t）×3＝6﹣t，

S梯形ABOF＝（2t+3）×4＝4t+6，

∴S△AEF＝S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE＝4t+6﹣t2﹣（6﹣t）＝﹣t2+t，

S四邊形AEOF＝S梯形ABOF﹣S△ABE＝4t+6﹣（6﹣t）＝t，

又∵S△AEF＝S四邊形AEOF

∴﹣t2+t＝×t，（0＜t＜）

解得t＝或t＝0（舍去）．

∴當(dāng)t＝時(shí)，S△AEF＝S四邊形AEOF．