【題目】如圖,已知∠MON=90°,A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥ON,垂足為點(diǎn)B,AB=3厘米,OB=4厘米,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以2厘米/秒的速度沿OM方向運(yùn)動(dòng),EF與OA交于點(diǎn)C,連接AE,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=1秒時(shí),△EOF與△ABO是否相似?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不論t取何值時(shí),總有EF⊥OA.為什么?
(3)連接AF,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得S△AEF=S四邊形AEOF?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)相似,理由見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)存在,t=,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)依據(jù)兩組對(duì)邊成比例及夾角相等,得出△EOF∽△ABO.
(2)通過(guò)證明Rt△EOF∽Rt△ABO,依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,結(jié)合等量代換,及三角形外角的性質(zhì),即可證明EF⊥OA.
(3)根據(jù)S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四邊形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE計(jì)算出S△AEF與S四邊形AEOF,根據(jù)已知條件寫(xiě)出關(guān)于t的方程,進(jìn)而可求出t的值.
解:(1)∵t=1,
∴OE=1.5厘米,OF=2厘米,
又∵AB=3厘米,OB=4厘米,
∴
又∵∠MON=∠ABE=90°,
∴△EOF∽△ABO.
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,OE=1.5t,OF=2t.
又∵AB=3,OB=4.
∴.
又∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.
∴∠AOB=∠EFO.
又∵∠AOB+∠FOC=90°,
∴∠EFO+∠FOC=90°,
∴EF⊥OA.
(3)如圖,連接AF,
∵OE=1.5t,OF=2t,
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OEOF=×1.5t×2t=t2,
S△ABE=×(4﹣1.5t)×3=6﹣t,
S梯形ABOF=(2t+3)×4=4t+6,
∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣(6﹣t)=﹣t2+t,
S四邊形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣(6﹣t)=t,
又∵S△AEF=S四邊形AEOF
∴﹣t2+t=×t,(0<t<)
解得t=或t=0(舍去).
∴當(dāng)t=時(shí),S△AEF=S四邊形AEOF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明隨機(jī)調(diào)查了若干市民租用共享單車(chē)的騎車(chē)時(shí)間t(單位:分),將獲得的數(shù)據(jù)分成四組,繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖(A:0<t≤10,B:10<t≤20,C:20<t≤30,D:t>30),根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這項(xiàng)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是多少人?
(2)試求表示A組的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角的度數(shù),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)如果小明想從D組的甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選擇兩人了解平時(shí)租用共享單車(chē)情況,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)公,作為運(yùn)城乃至山西的一張名片,吸引了來(lái)自世界各地的游客,在運(yùn)城西南公里的常平村(關(guān)公故鄉(xiāng))南山上,有一尊巨型關(guān)公銅像,高米,象征關(guān)公享年歲,底座的高度也有一定寓意.有一位游客,對(duì)此產(chǎn)生了興趣,想測(cè)量它的高度,由于游客無(wú)法直接到達(dá)銅像底部,因此該游客計(jì)劃借助坡面高度來(lái)測(cè)量它的高度.如圖,代表底座的高,坡頂與底座底部處在同一水平面上,該游客在斜坡底處測(cè)得該底座頂端的仰角為,然后他沿著坡度為的斜坡攀行了米,在坡頂處又測(cè)得該底座頂端的仰角為.求:
坡頂到地面的距離;
求底座的高度(結(jié)果精確到米).
(參考數(shù)據(jù):,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(1,0),C(3,1)
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的;
(2)畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B1C2,寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo);
(3)在(1)(2)的基礎(chǔ)上,圖中的,關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于點(diǎn)G.
(1)觀(guān)察圖形,寫(xiě)出圖中所有與∠AED相等的角.
(2)選擇圖中與∠AED相等的任意一個(gè)角,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】文化是一個(gè)國(guó)家、一個(gè)民族的靈魂,近年來(lái),央視推出《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》、《中國(guó)成語(yǔ)大會(huì)》、《朗讀者》、《經(jīng)曲詠流傳》等一系列文化欄目.為了解學(xué)生對(duì)這些欄目的喜愛(ài)情況,某學(xué)校組織學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,被調(diào)查的學(xué)生必須從《經(jīng)曲詠流傳》(記為A)、《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(記為B)、《中國(guó)成語(yǔ)大會(huì)》(記為C)、《朗讀者》(記為D)中選擇自己最喜愛(ài)的一個(gè)欄目,也可以寫(xiě)出一個(gè)自己喜愛(ài)的其他文化欄目(記為E).根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)在這項(xiàng)調(diào)查中,共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B”所在扇形圓心角的度數(shù);
(3)若選擇“E”的學(xué)生中有2名女生,其余為男生,現(xiàn)從選擇“E”的學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生參加座談,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出剛好選到同性別學(xué)生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖,梯面AD、BE相互平行,且與地面成37°的夾角,DE是一段水平歇臺(tái),離地面高度3米.已知天橋高度BC為4.8米,引橋水平跨度AC為8米,求梯面AD、BE及歇臺(tái)DE的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù):,結(jié)果保留兩位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABD沿AD翻折得到△AED,連CE
(1)求證:AD=ED
(2)連接BE,猜想△BEC的形狀,并說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)均滿(mǎn)足方程x2-6x+8=0,則此三角形的周長(zhǎng)為______.
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