【題目】閱讀
(1)閱讀理解:

如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.
中線AD的取值范圍是;
(2)問題解決:
如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問題拓展:
如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C為頂點作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F(xiàn)兩點,連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】
(1)2<AD<8
(2)

解:證明:延長FD至點M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖②所示:

同(1)得:△BMD≌△CFD(SAS),

∴BM=CF,

∵DE⊥DF,DM=DF,

∴EM=EF,

在△BME中,由三角形的三邊關(guān)系得:BE+BM>EM,

∴BE+CF>EF


(3)

解:BE+DF=EF;理由如下:

延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖3所示:

∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,

∴∠NBC=∠D,

在△NBC和△FDC中,

∴△NBC≌△FDC(SAS),

∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,

∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,

∴∠BCE+∠FCD=70°,

∴∠ECN=70°=∠ECF,

在△NCE和△FCE中, ,

∴△NCE≌△FCE(SAS),

∴EN=EF,

∵BE+BN=EN,

∴BE+DF=EF


【解析】(1)解:延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖①所示:
∵AD是BC邊上的中線,
∴BD=CD,
在△BDE和△CDA中, ,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴BE=AC=6,
在△ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:AB﹣BE<AE<AB+BE,
∴10﹣6<AE<10+6,即4<AE<16,
∴2<AD<8;
所以答案是:2<AD<8;

【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等才能正確解答此題.

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