Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為12的等邊三角形，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與、不重合），點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作于，連接交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）證明：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；

（3）點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段的長(zhǎng)是否為定值？如果線段的長(zhǎng)為定值，求出線段的長(zhǎng)；如果線段的長(zhǎng)不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）線段的長(zhǎng)為定值，

【解析】

（1）設(shè)，則，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；

（3）先根據(jù)題（2）可知，再根據(jù)線段的和差、即可得出答案．

（1）設(shè)，則

∵是等邊三角形

∴

∵，

∴

則在中，

即

解得

故AM的長(zhǎng)為4；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)

∴

∴是等邊三角形

∴

∴

在和中，

∴

∴

即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；

（3）線段的長(zhǎng)為定值．求解過(guò)程如下：

由（2）知，是等邊三角形

∵

∴

由（2）的結(jié)論可知：

∴

又∵

∴

故線段的長(zhǎng)為定值6．