Question

20．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），以AB為直徑作⊙M，BF是⊙M的切線，過拋物線上一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸下方）作⊙M的切線PD，切點(diǎn)為D（點(diǎn)D在x軸下方），PD與BF相交于點(diǎn)E，DN是⊙M的直徑，連接BN、BD．
（1）求拋物的表達(dá)式；
（2）若四邊形EBMD的面積為15，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EBMD的面積等于△DBN的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出⊙M的半徑為BM=3，然后用四邊形EBMD的面積為15，即三角形BME的面積是15，建立方程求出BE，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）先由四邊形EBMD的面積等于△DBN的面積判斷出DG=BE，即切線PD∥y軸，即直線PD解析式為y=-3，代入拋物線解析式中求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，8），
∴-8a=8，
∴a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+4）（x-2）=-x²-2x+8，
（2）∵AB為直徑作⊙M，
∴M（-1，0），
∵B（2，0），
∴MB=MA=3，
∵BF是⊙M的切線，
∴∠MBF=90°，
∵DP是⊙M的切線，
∴∠MDE=90°，MD=MB=3，DE=BE，
設(shè)E（2，b），則BE=|a|
∵四邊形EBMD的面積為15，
∴S_{四邊形EBMD}=S_△DME+S_△BME=$\frac{1}{2}$DE×MD+$\frac{1}{2}$BE×MB=$\frac{1}{2}$BE×MB+$\frac{1}{2}$BE×MB=BE×MB=3|a|=15，
∴a=±5，
∵點(diǎn)D在x軸下方
∴a=-5，∴E（2，-5），
（3）存在，
理由：如圖，作DG⊥x軸，

∵DM是⊙M的直徑，
∴S_△DMB=S_△NMB，
∴S_△DBN=2S_△DMB
由（2）得，S_{四邊形EBMD}=2S_△BME，
∵四邊形EBMD的面積等于△DBN的面積，
∴S_△DMB=S_△BME，
∴$\frac{1}{2}$ BM×DG=$\frac{1}{2}$BM×BE，
∴DG=BE，
∵PD與⊙M相切，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E在x軸下方，
∴切線PD與x軸平行，
∴直線PD解析式為：y=-3，
由（1）有，拋物線解析式為y=-x²-2x+8，
∴-3=-x²-2x+8
∴x=-1±2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（-1+$\sqrt{3}$，-3）或（-1-$\sqrt{3}$，-3）．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，切線的性質(zhì)，三角形的面積，圓的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是建立3|a|=15的方法，難點(diǎn)是判斷DG=BE．