【題目】△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合),△ADE是以AD為邊的等邊三角形,過點(diǎn)E作BC的平行線,分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G,連接BE.
(1)如圖(a)所示,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí).
①求證:△AEB≌△ADC;
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形?并說明理由;
(2)如圖(b)所示,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立;
(3)在(2)的情況下,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形BCGE是菱形?并說明理由.
【答案】(1)①見解析,②四邊形BCGE是平行四邊形,見解析;(2)①②都成立;(3)當(dāng)CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時(shí),四邊形BCGE是菱形,見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,然后求出∠BAE=∠CAD,再利用“邊角邊”證明△AEB和△ADC全等;②四邊形BCGE是平行四邊形,因?yàn)?/span>△AEB≌△ADC,所以可得∠ABE=∠C=60°,進(jìn)而證明∠ABE=∠BAC,則可得到EB∥GC又EG∥BC,所以四邊形BCGE是平行四邊形;
(2)根據(jù)(1)的思路解答即可.(3)當(dāng)CD=CB時(shí),四邊形BCGE是菱形,由(1)可知△AEB≌△ADC,可得BE=CD,再證明BE=CB,即鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
證明:(1)①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC(SAS).
②方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.
又∵EG∥BC,
∴四邊形BCGE是平行四邊形.
方法二:證出△AEG≌△ADB,得EG=AB=BC.
∵EG∥BC,
∴四邊形BCGE是平行四邊形.
(2)①②都成立.
(3)當(dāng)CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時(shí),四邊形BCGE是菱形.
理由:方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD
又∵CD=CB,
∴BE=CB.
由②得四邊形BCGE是平行四邊形,
∴四邊形BCGE是菱形.
方法二:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD.
又∵四邊形BCGE是菱形,
∴BE=CB
∴CD=CB.
方法三:∵四邊形BCGE是平行四邊形,
∴BE∥CG,EG∥BC,
∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°,∴△BEF是等邊三角形.
又∵AB=BC,四邊形BCGE是菱形,
∴AB=BE=BF,
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°,
∵∠EAD=60°,
∴∠CAD=30°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y是x的一次函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=-2時(shí),y=-14.
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像;
(3)由圖像觀察,當(dāng)0≤x≤2時(shí),函數(shù)y的取值范圍.
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列,如南宋數(shù)學(xué)家楊輝(約13世紀(jì))所著的《詳解九章算術(shù)》一書中,用如下的三角形解釋(a+b)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù),此三角形稱為“楊輝三角”,
即:(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
根據(jù)“楊輝三角”計(jì)算出(a+b)10的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.10B.45C.46D.50
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=9,點(diǎn)E在邊AD上,AE=1,過E、D兩點(diǎn)的圓的圓心O在邊AD的上方,直線BO交AD于點(diǎn)F,作DG⊥BO,垂足為G.當(dāng)△ABF與△DFG全等時(shí),⊙O的半徑為( 。
A. B. C. D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),已知A(1,1),在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P有_____個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小宇想測(cè)量位于池塘兩端的A,B兩點(diǎn)的距離.他沿著與直線AB平行的道路EF行走,當(dāng)行走到點(diǎn)C處,測(cè)得∠ACF=45°,再向前行走100米到點(diǎn)D處,測(cè)得∠BDF=60°.若直線AB與EF之間的距離為60米,求A,B兩點(diǎn)的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交BC于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)AE⊥BC時(shí),寫出圖中所有與∠B相等的角: ;所有與∠C相等的角: .
(2)若∠C-∠B=50°,∠BAD=x°(0<x≤45) .
① 求∠B的度數(shù);
②是否存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:已知方程a22a1=0,12bb2=0且ab≠1,求的值.
解:由a22a1=0及12bb2=0,
可知a≠0,b≠0,
又∵ab≠1,.
12bb2=0可變形為
,
根據(jù)a22a1=0和的特征.
、是方程x22x1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
則,即.
根據(jù)閱讀材料所提供的方法,完成下面的解答.
已知:3m27m2=0,2n2+7n3=0且mn≠1,求的值.
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