Question

3．如圖，點A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、…、A₂₀₁₅在x軸的正半軸上，點B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、…、B₂₀₁₅在雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，若△A₁B₁O、△A₂B₂A₁、△A₃B₃A₂、△A₄B₄A₃、△A₅B₅A₄、…、△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄均為等邊三角形，求△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄的邊長．

Answer 1

分析 先求出OA₁、OA₂、OA₃，探究規(guī)律歸納得出OA_n即可解決問題．

解答 解：設等邊三角形△OB₁A₁的邊長為a，則B₁坐標為（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∵B₁在反比例函數(shù)圖象上，
∴$\frac{a}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\sqrt{3}$，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴OA₁=2，設等邊三角形△A₁B₂A₂的邊長為b，則B₂（2+$\frac{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b$），
∴（2+$\frac{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\sqrt{3}$，
解得b=2$\sqrt{2}$-2，OA₂=2$\sqrt{2}$，設等邊三角形△A₂B₃A₃的邊長為c，在則B₃（2$\sqrt{2}$+$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
∴（2$\sqrt{2}$+$\frac{c}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\sqrt{3}$，
解得c=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
∴OA₃=2$\sqrt{3}$
綜上所述：OA₁=2，OA₂=2$\sqrt{2}$，OA₃=2$\sqrt{3}$…OA_n=2$\sqrt{n}$，
則△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₄的邊長為2$\sqrt{2015}$-2$\sqrt{2014}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)的有關知識、等邊三角形的性質(zhì)、解題的關鍵是從一般到特殊探究規(guī)律后解決問題，屬于中考�？碱}型．