【題目】(1)如圖1,三角形ABC中,BO平分∠ABC、CO平分∠ACB,則∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖2,BO平分△ABC的外角∠CBD、CO平分△ABC的外角∠BCE,則∠BOC與∠A的關(guān)系是 ;
(3)請(qǐng)就圖2及圖2中的結(jié)論進(jìn)行證明.
【答案】(1)∠BOC=90°+∠A;(2)∠BOC=90°-∠A;(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,然后表示出∠OBC+∠OCB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可;
(2)由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A,即∠BOC=90°-∠A;
(3)由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A,即∠BOC=90°-∠A.
試題解析:(1)∠BOC=90°+∠A.
∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB),
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-
=90°+∠A,
(2)∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=90°-∠A.
(3)如圖,
∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線,
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A,
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A,
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°,
∴2∠BOC=180°-∠A,
∴∠BOC=90°-∠A.
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