Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）．圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1、3，與y軸負半軸交于點C．下面三個結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③只有當(dāng)a=時，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正確的結(jié)論是________．（只填你認為正確結(jié)論的序號）

Answer 1

①③
分析：先根據(jù)圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．
解答：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對稱軸x=-=1，
即2a+b=0．
故選項正確；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而-=1，
∴b＜0，
∵對稱軸x=1，
∴當(dāng)x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0．故選項錯誤；
③要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；
D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時y的值的絕對值．
當(dāng)x=1時，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵當(dāng)x=1時y＜0，
∴a+b+c=-2，
又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴當(dāng)x=-1時y=0，即a-b+c=0，
x=3時y=0，即9a+3b+c=0，
解這三個方程可得：b=-1，a=，c=-，故選項正確．
故答案為：①③．
點評：考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=-判斷符號；
（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：
①2個交點，b²-4ac＞0；②1個交點，b²-4ac=0；③沒有交點，b²-4ac＜0．