Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點DE分別在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，

（1）求證：∠B=∠C，AD=AE；

（2）若∠BAC=90°，把△ADE繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，連接MN，PM，PN．

①判斷△PMN的形狀，并說明理由；

②把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN的最大面積為　 　

Answer 1

【答案】(1)見解析 （2）①△PMN是等腰直角三角形 ②

【解析】

（1）利用平行線分線段成比例定理得出比例式即可得出AB=AC，即可得出結論；
（2）①利用三角形中位線定理和BD=CE，判斷出PM=PN，即：△PMN是等腰三角形，再判斷出∠MPN=90°，得出△PMN是等腰直角三角形；
②先判斷出PM最大時，△PMN面積最大，即：點D在AB的延長線上，進而求出BD=AB+AD=14，即可得出PM的最大值即可．

（1）∵DE∥BC，∴ ，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，

AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE

（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由：∵點P，M分別是CD，DE的中點，∴PM=CE，PM∥CE，

∵點N，M分別是BC，DE的中點，∴PN=BD，PN∥BD，∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形

②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在AB的延長線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72= ．