【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在一個點M,使得PM = MC,則稱點P為⊙C的“等徑點”.已知點D,E,F.
(1)當⊙O的半徑為1時,
①在點D,E,F中,⊙O的“等徑點”是 ;
②作直線EF,若直線EF上的點T(m,n)是⊙O的“等徑點”,求m的取值范圍.
(2)過點E作EG⊥EF交x軸于點G,若△EFG上的所有點都是某個圓的“等徑點”,求這個圓的半徑r的取值范圍.
【答案】(1) ①D、F;②;(2)
【解析】
(1)①根據“等徑點”的定義可知,“等徑點”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍,由此即可判定;
②如圖2中,設直線EF交半徑為2的⊙O于點K,連接OK,作KM⊥OF于M.當點T在線段FK上時,點T是“等徑點”,求出點K的坐標即可解決問題;
(2)因為△EFG各邊上所有的點都是某個圓的“等徑點”,所以這個圓的圓心Q是線段FG的中點,易知Q(2,0),設這個圓的半徑為r.根據QG≤2r,構建不等式即可解決問題;
(1)根據“等徑點”的定義可知,“等徑點”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍.即半徑為1的⊙O的“等徑點”在以O為圓心2為半徑的圓內或圓上.
如圖1中,觀察圖象可知:在點D,E,F中,⊙O的“等徑點”是D,F.
故答案為D,F;
②如圖2中,設直線EF交半徑為2的⊙O于點K,連接OK,作KM⊥OF于M.
∵OF=2,OE=2,
∴tan∠EFO==,
∴∠OFK=60°,
∵OF=OK,
∴△OFK是等邊三角形,
∴OF=OK=FK=2,
∵KM⊥OF,
∴FM=OM=1,KM==,
∴K(1,),
∵當點T在線段FK上時,點T是“等徑點”,
∴2≤m≤1.
(2)如圖3中,
∵△EFG是直角三角形,∠FEG=90°,∠EFG=60°,
∴EF=2OF=4,FG=2EF=8,
∴OG=6,
由題意△EFG各邊上所有的點都是某個圓的“等徑點”,這個圓的圓心Q是線段FG的中點,Q(2,0),設這個圓的半徑為r.
由題意:QG≤2r
∴4≤2r,
∴r≥2,
即這個圓的半徑r的取值范圍為r≥2.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,則下列敘述正確的是( )
A. abc<0 B. -3a+c<0
C. b2-4ac≥0 D. 將該函數(shù)圖象向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+c
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將△ABO繞點A順指針旋轉到△AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置,點C2在x軸上,將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去…,若點A(,0)、B(0,4),則點B2020的橫坐標為_____.
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【題目】已知銳角∠AOB如圖,(1)在射線OA上取一點C,以點O為圓心,OC長為半徑作,交射線OB于點D,連接CD;
(2)分別以點C,D為圓心,CD長為半徑作弧,交于點M,N;
(3)連接OM,MN.
根據以上作圖過程及所作圖形,下列結論中錯誤的是( )
A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN,則∠AOB=20°
C. MN∥CDD. MN=3CD
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【題目】如圖,在平面坐標系xOy中,點A的坐標為(1,0),點P的橫坐標為2,將點A繞點P旋轉,使它的對應點B恰好落在x軸上(不與A點重合);再將點B繞點O逆時針旋轉90°得到點C.
(1)直接寫出點B和點C的坐標;
(2)求經過A,B,C三點的拋物線的表達式.
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【題目】在一次數(shù)學活動課上,老師讓同學們到操場上測量旗桿的高度,然后回來交流各自的測量方法.小芳的測量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處(如圖),然后沿BC方向走到D處,這時目測旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上,又測得C、D兩點的距離為3米,小芳的目高為1.5米,這樣便可知道旗桿的高.你認為這種測量方法是否可行?請說明理由.
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【題目】如圖,直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于點A(1,m),與x軸交于點B,平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖象于點M,交AB于點N,連接BM.
(1)求m的值和反比例函數(shù)的表達式;
(2)直線y=n沿y軸方向平移,當n為何值時,△BMN的面積最大?
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2如圖所示,已知A點坐標為(1,1),過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1,過點A1作A1A2∥OA交拋物線于點A2,過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3,過點A3作A3A4∥OA交拋物線于點A4,過點A4作A4A5∥x軸交拋物線于點A5,則點A5的坐標為_____.
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【題目】已知在平面直角坐標系內,拋物線y=x2﹣bx+6經過x軸上兩點A,B,點B的坐標為(3,0),與y軸相交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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