【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點E為AD上一點,連接AC,CB,∠B=∠AEC.
(1)如圖1,求證:CE=CD;

(2)如圖2,若∠B+∠CAE=120°,∠ACD=2∠BAC,求∠BAD的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下,延長CE交⊙O于點G,若tan∠BAC= ,EG=2,求AE的長.

【答案】
(1)解:證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O

∴∠B+∠D=180°,

∵∠B=∠AEC,

∴∠AEC+∠D=180°,

∵∠AEC+∠CED=180°,

∴∠D=∠CED,

∴CE=CD.


(2)解:作CH⊥DE于H.

設(shè)∠ECH=α,由(1)CE=CD,

∴∠ECD=2α,

∵∠B=∠AEC,∠B+∠CAE=120°,

∴∠CAE+∠AEC=120°

∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°,

∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣(60°+α)=30°﹣α,

∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α,

∵∠ACD=2∠BAC,

∴∠BAC=30°+α,

∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°.


(3)解:連接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG,∠CDE=∠AGE,∠CED=∠CDE,

∴∠AEG=∠AGE,

∴AE=AG,

∴EM=MG= EG=1,

∴∠EAG=∠ECD=2α,

∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC,

∵tan∠BAC= ,

∴設(shè)NG=5 m,可得AN=11m,AG= =14m,

∵∠ACG=60°,

∴CN=5m,AM=8 m,MG= =2m=1,

∴m=

∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3

∴AE= = =7.


【解析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補及平角的定義,得出∠B與∠D互補,∠AEC與∠CED互補,再根據(jù)等角的補角相等,得出∠D=∠CED,即可得出結(jié)論。
(2)作CH⊥DE于H.設(shè)∠ECH=α,先用含α的代數(shù)式分別表示出∠CAE和∠BAC,即可求得∠BAD的度數(shù)。
(3)連接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG,先證明∠CAG=∠BAC,根據(jù)tan∠BAC的值,用含m的代數(shù)式分別表示出NG、AN、AG的長,再由∠ACG=60°,求出m的值,再根據(jù)勾股定理即可求得AE的長。
【考點精析】利用勾股定理的概念和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.

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(1)用含x的式子填寫下表:

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載客量()

租金()

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x

45x

400x

B

5-x

(2)若要保證租車費用不超過1900元,求x的最大值;

(3)(2)的條件下,若七年級師生共有195人,寫出所有可能的租車方案,并確定最省錢的租車方案.

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