【題目】已知有公共頂點(diǎn)的△和△都是等邊三角形,且>.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)恰好在的延長線上時(shí),連結(jié),分別交,于點(diǎn),.
①求證:;
②連接,求證:∥;
(2)圖2是由圖1中的△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(<<)得到,使得恰好經(jīng)過的中點(diǎn),試猜想線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2)猜想:BC2+BD2=AB2,理由見解析.
【解析】
(1)①先由等邊三角形得出CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE =60°,從而判斷出∠ACE=∠DCB,得到△ACE≌△DCB,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證;
②由∠ACD=∠BCE =60°可得∠MCN =60°,由△ACE≌△DCB可得∠CAE=∠CDB,然后根據(jù)ASA證明△ACM≌△DCN,從而得CM=CN,繼而得到△MCN是等邊三角形,進(jìn)而根據(jù)平行線的判定即可得證;
(2)猜想:BC2+BD2=AB2,理由為:如圖,連接AE,仿照(1)①證明△ACE≌△DCB,從而可得 AE=BD,∠AEC=∠DBC,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBF=30°,繼而可得∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°,利用勾股定理可得AE2+BE2=AB2,等量代換即可得BC2+BD2=AB2.
(1)①∵△ACD,△BCE都是等邊三角形,
∴∠DCA=∠BCE=60°,CA=CD,CB=CE,
∵∠ACE=∠ACD+∠MCN,∠DCB=∠MCN+∠BCE,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
②∵A、C、B共線,∠ACD=∠BCE =60°,
∴∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°,
∴∠ACM=∠DCN,
∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
又∵CA=CD,
∴△ACM≌△DCN,
∴CM=CN,
又∵∠MCN=60°,
∴△MCN是等邊三角形,
∴∠MNC=60°,
又∵∠BCE=60°,
∴∠MNC=∠BCE,
∴MN//AB;
(2)猜想:BC2+BD2=AB2,理由如下:
如圖,連接AE,
∵△ACD,△BCE都是等邊三角形,
∴∠DCA=∠BCE=∠BEC=∠CBE=60°,CA=CD,CB=CE=BE,
∵∠ACE=∠ACD+∠MCN,∠DCB=∠MCN+∠BCE,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠AEC=∠DBC,
又∵F為BC中點(diǎn),
∴∠CBF=∠CBE=30°,
∴∠AEC=30°,
∴∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°,
∴AE2+BE2=AB2,
∴BC2+BD2=AB2.
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【題目】某工程隊(duì)承接了60萬平方米的綠化工程,由于情況有變,……設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省略的部分是( )
A. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
B. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
C. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
D. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
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【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,AD=4,BD=2,CD=8.
(1)求證:∠BAC=90°;
(2)P為BC邊上一點(diǎn),連接AP,若△ABP為等腰三角形,請求出BP的長.
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【題目】如圖,五邊形ABCDE與五邊形A'B'C'D'E'是位似圖形,且位似比為2.如果五邊形ABCDE的面積為16 cm2,周長為20 cm,那么五邊形A'B'C'D'E'的面積為_______,周長為_______.
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【題目】已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為直線.
若,求的值;
若實(shí)數(shù),比較與的大小,并說明理由.
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【題目】如圖是小李騎自行車離家的距離與時(shí)間之間的關(guān)系.
(1)在這個(gè)變化過程中自變量是______,因變量是______;
(2)小李何時(shí)到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方?此時(shí)離家多遠(yuǎn)?
(3)請直接寫出小李何時(shí)與家相距?
(4)求出小李這次出行的平均速度.
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【題目】已知x1、x2是關(guān)于x的﹣元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求a的取值范圍;
(2)若(x1+1)(x2+1)是負(fù)整數(shù),求實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.
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【題目】某經(jīng)銷商準(zhǔn)備進(jìn)一批特色商品,經(jīng)調(diào)查,用16000元采購A型商品的件數(shù)是用7500元采購B型商品的件數(shù)的2倍.一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多10元.
(1)求一件A,B型商品的進(jìn)價(jià)分別是多少?
(2)若經(jīng)銷商購進(jìn)A,B型商品共250件,試銷A型商品售價(jià)為240元/件,B型商品售價(jià)為220元/件,且全部售出.已知購進(jìn)B型商品m件,A型商品的件數(shù)不小于B型商品的件數(shù),且B型商品的銷量不小于80件,試求銷售完這批商品的最大利潤?
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【題目】如圖所示,可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分,指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會均等.
(1)現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,停止后,指針指向1的概率為 ;
(2)小明和小華利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲,若采用下列游戲規(guī)則,你認(rèn)為對雙方公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.
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