Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，且AE=DF，連接BF與DE，相交于點(diǎn)G，連接CG，與BD相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2FD，則BG=6GF,其中正確的有____________.（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

對(duì)于①，先證明△ABD為等邊三角形，再根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；

②，先證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，如圖，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，再證明△CBM≌△CDN，所以S 四邊形BCDG=S 四邊形CMGN，求后者的面積即得答案；

③，過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．

解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴AB=AD=BD，

∴△ABD為等邊三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故①正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．

∴∠BGC=∠DGC=60°．

如圖，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，則CM=CN.

∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL），

∴S 四邊形BCDG=S 四邊形CMGN，S 四邊形CMGN=2S △CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM= CG，CM= CG，

∴S 四邊形CMGN=2S △CMG=2××GM×CM=2××CG× CG= CG 2，故②正確；

③如圖，過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)．

∵AF=2FD，

∴FP：AE=DF：DA=1：3，

∵AE=DF，AB=AD，

∴BE=2AE，

∴FP：BE=1：6=FG：BG，

即BG=6GF，故③正確．

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．

故答案為：①②③．