【題目】如圖,以點P(-1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(BC的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(AD的下方),AD=,將ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°,得到MCB.

(1)求B、C兩點的坐標(biāo);

(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點M的坐標(biāo);

(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時停止,設(shè)直線lCM交點為E,點QBE的中點,過點EEGBCG,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.

【答案】1B﹣3,0),C1,0);(2)矩形,M的坐標(biāo)為(﹣2);(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°

【解析】試題分析:(1)連接PA,運用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出BC兩點的坐標(biāo).

2)由于圓P是中心對稱圖形,顯然射線AP與圓P的交點就是所需畫的點M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過點MMH⊥BC,垂足為H,易證△MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長,進而得到點M的坐標(biāo).

3)易證點E、MB、G在以點Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°,從而得到∠MBG=60°,進而得到∠MQG=120°,所以∠MQG是定值.

試題解析:解:(1)連接PA,如圖1所示.∵PO⊥AD,∴AO=DO∵AD=,∴OA=P坐標(biāo)為(﹣10),∴OP=1,∴PA==2,∴BP=CP=2,∴B﹣3,0),C10);

2)連接AP,延長AP⊙P于點M,連接MB、MC.如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.四邊形ACMB是矩形.理由如下:

∵△MCB△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°所得,四邊形ACMB是平行四邊形.

∵BC⊙P的直徑,∴∠CAB=90°,平行四邊形ACMB是矩形.

過點MMH⊥BC,垂足為H,如圖2所示.

△MHP△AOP中,∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPAMP=AP,∴△MHP≌△AOP,∴MH=OA=PH=PO=1,∴OH=2M的坐標(biāo)為(﹣2,);

3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變.

四邊形ACMB是矩形,∴∠BMC=90°∵EG⊥BO,∴∠BGE=90°,∴∠BMC=∠BGE=90°

QBE的中點,∴QM=QE=QB=QG,E、M、BG在以點Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示,∴∠MQG=2∠MBG∵∠COA=90°,OC=1,OA=,∴tan∠OCA==,∴∠OCA=60°,∴∠MBC=∠BCA=60°,∴∠MQG=120°,在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°

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