Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）

解：∵y=（x+1）2，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對稱，

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=2x+2

【解析】（1）利用△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)得到4a2﹣4a=0，然后解關(guān)于a的方程求出a，即可得到拋物線解析式；（2）利用點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則可以利用拋物線解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
【考點(diǎn)精析】利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．