Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）兩點．

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=﹣x﹣6；（2）詳見解析（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；

（2）先利用勾股定理計算出AB=10，再根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙M的直徑，則點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），則可確定C（﹣4，2），然后利用頂點式求出拋物線解析式；

（3）通過解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，設(shè)P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解絕對值方程求出t即可得到P點坐標(biāo)．

【試題解析】（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直線AB的解析式為y=﹣x﹣6；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，

∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；

（3）存在．

當(dāng)y=0時，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，

設(shè)P（t，﹣t2﹣4t﹣6），

∵S△PDE=S△ABC，

∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，

即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，當(dāng)﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此時P點坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）；當(dāng)﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此時P點坐標(biāo)為（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）．

綜上所述，P點坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）時，使得S△PDE=S△ABC．