【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣3(a+1)x+2a+3(a≠0)與直線y=x﹣1交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),AB=5.
(1)求證:該拋物線必過一個(gè)定點(diǎn);
(2)求該拋物線的解析式;
(3)設(shè)直線x=m與該拋物線交于點(diǎn)E(x1,y1),與直線AB交于點(diǎn)F(x2,y2),當(dāng)滿足y1+y2>0且y1y2<0時(shí),求m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)y=x2﹣6x+5或y=﹣x2﹣x+;(3)m<1或4<m<5或﹣<m<1或m>1.
【解析】
(1)將二次函數(shù)解析式進(jìn)行變形,得到y=a(x2﹣3x+2)a﹣3x+3,當(dāng)x2﹣3x+2=0時(shí),即可求出函數(shù)圖象過的定點(diǎn).
(2)將y=x﹣1代入y=ax2﹣3(a+1)x+2a+3,根據(jù)韋達(dá)定理得到根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出的值.
(3)根據(jù)(2)中的解析式,分兩種情況進(jìn)行討論即可.
解:(1)證明:∵y=ax2﹣3(a+1)x+2a+3=a(x2﹣3x+2)a﹣3x+3,
∴當(dāng)x2﹣3x+2=0時(shí),圖象過定點(diǎn),即:x=1或2,
∴該拋物線必過定點(diǎn)(1,0)、(2,﹣3);
(2)將y=x﹣1代入y=ax2﹣3(a+1)x+2a+3,整理得:ax2﹣(3a+4)x+2a+4=0,
即:
如下圖,直線y=x﹣1與x軸的夾角為45°,則AB的水平距離為
解得:a=1或
則函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2﹣6x+5或
(3)當(dāng)函數(shù)為:y1=x2﹣6x+5時(shí),直線表達(dá)式為:y2=x﹣1,
令y1=0,則x=1或5,則點(diǎn)D坐標(biāo)為(5,0),
①當(dāng)m<1時(shí),則y1y2<0,
當(dāng)x=m時(shí),y1+y2>0,即:m2﹣6m+5+m﹣1>0,
解得:m>4或m<1,
故:m<1;
②當(dāng)1<m<5時(shí),m2﹣6m+5+m﹣1<0,
解得:4<m或m<1,
故:4<m<5;
同理當(dāng) 時(shí),
或m>1;
綜上所述:m的取值范圍為:m<1或4<m<5或或m>1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、、三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上.
(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證:△BEM∽△CNE;
(2)如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長線交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除(1)中的一對(duì)相似三角形外,能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)上.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ;點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ;
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小,使變換后得到的△A1B1C1與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1:2,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A1B1C1;
(3)△A1B1C1的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上,點(diǎn)C、D落在拋物線y=ax2(a>0)上,對(duì)角線AC分別交y軸和拋物線于點(diǎn)E、F,則的值為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,連接OC,過點(diǎn)A作AD∥OC,交BC的延長線于D,AB交OC于E,∠ABC=45°.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若AE=,CE=3.
①求⊙O的半徑;
②求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折疊后得到△AFE,且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部,將AF延長后交邊BC于點(diǎn)G,且,則的值為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=3時(shí),y有最小值﹣4,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,12).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)該拋物線交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,在拋物線對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求PA+PC的最小值,并求當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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