Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝3時(shí)，y有最小值﹣4，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1，12)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)該拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PA+PC的最小值，并求當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣6x＋5；(2) 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，PA＋PC取最小值，最小值為5．

【解析】

（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)將二次函數(shù)的解析式設(shè)成y=a（x-3）2-4，由該函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可得出連接BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC取最小值，最小值為BC，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求出直線(xiàn)BC的解析式及線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解．

（1）∵當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值-4，

∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-3）2-4．

∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，12），

∴12=16a-4，

∴a=1，

∴二次函數(shù)的解析式為y=（x-3）2-4=x2-6x+5．

（2）當(dāng)y=0時(shí)，有x2-6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）；

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-6x+5=5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．

連接BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC取最小值，最小值為BC，如圖所示．

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（5，0）、C（0，5）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+5．

∵B（5，0）、C（0，5），

∴BC=5．

∵當(dāng)x=3時(shí)，y=-x+5=2，

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，PA+PC取最小值，最小值為5．