【題目】如圖,ABCD位于直角坐標(biāo)系中,AB=2,點(diǎn)D(0,1),以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)x軸正半軸上的點(diǎn)A,B,CE⊥x軸于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).
(2)將該拋物線向上平移m個(gè)單位恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且這時(shí)新拋物線交x軸于點(diǎn)M,N.
①求MN的長(zhǎng).
②點(diǎn)P是新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AQ,則OQ的最小值為 (直接寫(xiě)出答案即可)
【答案】(1)A(1,0),B(3,0),C(2,1);(2)①MN=;②
【解析】
(1)由ABCD可知CD,進(jìn)而求出E和C點(diǎn)坐標(biāo),由AB長(zhǎng)從而求出AB點(diǎn).(2)①由第一問(wèn)解出拋物線方程,上移m更改拋物線方程,由其過(guò)D,進(jìn)而求出上移后拋物線方程,再求MN.②根據(jù)三角函數(shù),求出最小值.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD=AB=2,
∵CE⊥x軸,
∴OE=2,
∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn),
∴AE=BE=1,
∴OA=2﹣1=1.OB=OE+BE=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∵D(0,1),
∴C(2,1);
(2)由(1)知,拋物線的頂點(diǎn)C(2,1),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+1,
∵A(1,0)在拋物線上,
∴a(1﹣2)2+1=0,
∴a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+1,
①該拋物線向上平移m個(gè)單位恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,設(shè)平移后的拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+1+m,
∵D(0,1),
∴﹣(﹣2)2+1+m=1,
∴m=4,
∴平移后的拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+5,
令y=0,
∴0=﹣(x﹣2)2+5,
∴x=2±,
∴M(2+,0),N(2﹣,0),
∴MN=2;
②如圖,
在第一象限的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)P1,使∠P1AB=60°,
在Rt△AEP1中,AP1=2AE=2,P2E=
∴點(diǎn)Q1和點(diǎn)B重合,
∴Q1(3,0),P1(2,),
在第一象限的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)P2,使∠P2AB=30°,
在Rt△AEP2中,P2E=AEtan30°=,
∴點(diǎn)Q2(2,﹣),
∴直線Q1Q2的解析式y=x﹣
在第二象限的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)P3,使∠P3AE=60°,
由旋轉(zhuǎn)知,Q3和點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng),
∴Q3(0,﹣),
∴點(diǎn)Q3在直線Q1Q2上,
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線Q1Q2,
∴當(dāng)OQ⊥Q1Q2時(shí),OD最短,
∵Q1Q3=2
∴OD最小==,
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行全體學(xué)生“漢字聽(tīng)寫(xiě)”比賽,每位學(xué)生聽(tīng)寫(xiě)漢字39個(gè).隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的聽(tīng)寫(xiě)結(jié)果,繪制成如下的圖表.
組別 | 正確字?jǐn)?shù)x | 人數(shù) |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中的m= ,n= ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ;
(3)已知該校共有900名學(xué)生,如果聽(tīng)寫(xiě)正確的字的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)該校本次聽(tīng)寫(xiě)比賽不合格的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車(chē)從A地開(kāi)往B地,甲車(chē)比乙車(chē)早出發(fā)2小時(shí),并且在途中休息了0.5小時(shí),休息前后速度相同,如圖是甲、乙兩車(chē)行駛的距離y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象.解答下列問(wèn)題:
(1)圖中a的值為;
(2)當(dāng)x>1.5(h)時(shí),求甲車(chē)行駛路程y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)甲車(chē)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后,兩車(chē)恰好相距40km?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作EF ∥BC交AB于E,交AC于F,過(guò)點(diǎn)G作GD⊥ AC于D,下列四個(gè)結(jié)論:①EF = BE+CF;②∠BGC= 90 °+∠A;③點(diǎn)G到△ ABC各邊的距離相等;④設(shè)GD =m,AE + AF =n,則S△AEF=mn.其中正確的結(jié)論有( )
A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=﹣x+b分別交x,y軸的正半軸于點(diǎn)A,B,交反比例函數(shù)y=﹣的圖象于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在第二象限內(nèi)),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E,記四邊形OBCE的面積為S1,△OBD的面積為S2,若,則CD的長(zhǎng)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序,若在水溫為時(shí),接通電源后,水溫和時(shí)間的關(guān)系如圖.開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升,加熱到,飲水機(jī)關(guān)機(jī)停止加熱,水溫開(kāi)始下降,下降時(shí)水溫與開(kāi)機(jī)后的時(shí)間成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫降至,飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)機(jī),重復(fù)上述自動(dòng)程序.若上午開(kāi)機(jī),則時(shí)能否喝到超過(guò)的水?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列六個(gè)命題:①相等的角是對(duì)頂角;②兩直線平行,同位角相等;③若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為和,則這個(gè)三角形是直角三角形;④全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。其中逆命題是假命題的個(gè)數(shù)有( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求證:相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.
要求:①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B′,∠A′(∠A′=∠A),以線段A′B′為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B′C′,使得△A'B′C′∽△ABC,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡;
②在已有的圖形上畫(huà)出一組對(duì)應(yīng)中線,并據(jù)此寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】身高米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏,風(fēng)箏不小心掛在了樹(shù)上.在如圖所示的平面圖形中,矩形代表建筑物,兵兵位于建筑物前點(diǎn)處,風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹(shù)枝點(diǎn)處(點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上).經(jīng)測(cè)量,兵兵與建筑物的距離米,建筑物底部寬米,風(fēng)箏所在點(diǎn)與建筑物頂點(diǎn)及風(fēng)箏線在手中的點(diǎn)在同一條直線上,點(diǎn)距地面的高度米,風(fēng)箏線與水平線夾角為.
求風(fēng)箏距地面的高度;
在建筑物后面有長(zhǎng)米的梯子,梯腳在距墻米處固定擺放,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明:若兵兵充分利用梯子和一根米長(zhǎng)的竹竿能否觸到掛在樹(shù)上的風(fēng)箏?
(參考數(shù)據(jù):,,)
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