Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，交直線BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ﹣PH最大時(shí)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM、MN，求PM+MN+ND的最小值；

（2）如圖2，連接AC，將△OAC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的△OAC為△OA'C'，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'．當(dāng)點(diǎn)A'剛好落在線段AC上時(shí)，將△OA'C'沿著直線BC平移，在平移過(guò)程中，直線OC'與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)R是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)R，使得以B、E、F、R為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，10)或(，﹣)或(3，﹣)

【解析】

（1）PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，當(dāng)x＝4時(shí)，PH最大，即PQ﹣PH最大，此時(shí)點(diǎn)P（4，3）；過(guò)點(diǎn)D作直線DH∥BC，則∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DH于點(diǎn)H，則此時(shí)，PM+MN+ND的最小，即可求解；

（2）分BF是邊、BF為對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

令x=0，則y=6；

令y=0，則，解得：，；

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（8，0）、（0，6），

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+6，

∴∠HPQ＝∠OBC，則tan∠HPQ＝tan∠OBC＝＝tanα，

則sinα＝，cos，

PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，

而PH＝y＝＝，

當(dāng)x＝4時(shí)，PH最大，即PQ﹣PH最大，

此時(shí)點(diǎn)P（4，3）；

過(guò)點(diǎn)D作直線DH∥BC，則∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DH于點(diǎn)H，則此時(shí)，PM+MN+ND的最小，

則HD＝DNsin∠NDH＝DNcosα＝，

則PM+MN+ND＝PM+MN+HN＝PH，即此時(shí)PM+MN+ND的最小，

直線PH⊥HD，則直線PH表達(dá)式中的k值為：，

由k值和點(diǎn)P的坐標(biāo)得：直線PH的表達(dá)式為：y＝x，故點(diǎn)N（0，0），

HN＝NDcosα＝6×＝，PN＝PO＝5，

PH＝5+＝，

即PM+MN+ND的最小值為：；

（2）OA＝OA′＝2，

過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥x軸于點(diǎn)H，tan∠A′AO＝＝3＝tanβ，

設(shè)AH＝x，則A′H＝3x，OH＝2﹣x，

由勾股定理得：22＝（3x）2+（2﹣x）2，

解得：x＝，故點(diǎn)A′（﹣，），

則直線OA′的表達(dá)式為：y＝﹣x，

OA′⊥C′O，則直線OC′的表達(dá)式為：y＝x，

設(shè)直線OC′向右平移了m個(gè)單位，則直線OC′的表達(dá)式為：y＝（x﹣m），

拋物線的對(duì)稱軸為：x＝3，

則點(diǎn)F（m，0），點(diǎn)E（3，4﹣m），而點(diǎn)B（8，0）；

①當(dāng)BF是邊時(shí)，

則BF＝ER＝8﹣m，則點(diǎn)R（3+8﹣m，4﹣m），

由BR＝FR得：（8﹣m）2＝（3﹣m）2+（4﹣m）2，

解得：m＝﹣或，

故點(diǎn)R（，10）或（，﹣）；

②當(dāng)BF為對(duì)角線時(shí)，

則點(diǎn)R（3，m﹣4），

由FR＝BR得：（m﹣3）2+（m﹣4）2＝52+（m﹣4）2，

解得：m＝8（舍去）或﹣2，

故點(diǎn)R（3，﹣）；

綜上所述，點(diǎn)R的坐標(biāo)為：（，10）或（，﹣）或（3，﹣）．