Question

11．（1）如圖1所示，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，請?zhí)羁眨?\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（直接寫出答案）；
（2）如圖2所示，將（1）中的△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BO₁C₁，連接AO₁，DC₁，請你猜想線段AO₁與DC₁之間的數(shù)量關系，并證明之；
（3）如圖3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共頂點B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，則$\frac{AE}{DF}$的值是否為定值？若是定值，請求出該值；若不是定值，請簡述理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠ABO=∠O₁B，C₁，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BD}$=$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$，證明△ABO₁∽△DBC₁，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)正弦的定義和矩形的性質(zhì)證明△AEB∽△DFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，△AOD是等腰直角三角形，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BO₁C₁，
∴∠ABO=∠O₁B，C₁，
∴∠ABO₁=∠DBC₁，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$，又∠ABO₁=∠DBC₁，
∴△ABO₁∽△DBC₁，
∴$\frac{A{O}_{1}}{D{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）在Rt△EBF中，∠EBF=30°，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AB}{BD}$，
∵∠EBF=∠ABD，
∴∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△DFB，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個角都是直角、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關鍵．