Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（m，0），D（0，n），m是最接近$\sqrt{65}$的整數(shù)，n是16的算術平方根，若將△ABC沿矩形對角線AC所在直線翻折，點B落在點E處，AE與邊CD相交于點M．
（1）求AC的長；
（2）求△AMC的面積；
（3）求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用算術平方根求出m，n，從而確定出點B，C，D的坐標，即可；
（2）由折疊有∠ABC=∠E=∠ADC，和對頂角判斷出△ADM≌△CEM，然后在直角三角形ADM中利用勾股定理計算即可；
（3）由射影定理得，CE²=CF×CM，直角三角形的面積的兩種計算得到ME×CE=CM×EF，求出EF，F(xiàn)C即可．

解答 解：（1）∵m是最接近$\sqrt{65}$的整數(shù)，
∴m=8，
∵n是16的算術平方根，
∴n=4，
∴B（8，0），D（0，4），
∵點C矩形ABCD的一個頂點，
∴C（8，4），
∴AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
（2）由折疊有，CE=AD=BC=4，AE=AB=8，
設DM=x則CM=8-x，
∵∠ADM=∠CEM，∠AMD=∠CME，
∴△ADM≌△CEM，
∴AM=CM=8-x，ME=MD，
在Rt△ADM中，AD=4，DM=x，AM=8-x，
根據(jù)勾股定理有：AD²+DM²=AM²，
即：16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴DM=3，CM=5，
∴S_△AMC=$\frac{1}{2}$CM×AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
（3）過點E作EF⊥CD，如圖，

由（2）有，CM=5，CE=4，ME=DM=3
在Rt△CEM中，由射影定理得，CE²=CF×CM，
∴16=CF×5，
∴CF=$\frac{16}{5}$，
∵ME×CE=CM×EF（直角三角形的面積的兩種計算），
∴EF=$\frac{ME×CE}{CM}$=$\frac{12}{5}$，
∴DF=CD-CF=$\frac{24}{5}$，BC+EF=$\frac{32}{5}$，
∴E（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了算術平方根，勾股定理，折疊的性質，證明△ADM≌△CEM和在Rt△ADM計算出DM是解本題的關鍵，計算CF，EF是本題的難點．