Question

【題目】如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為.連接交線段于點(diǎn).

（1）在圖一中，，，有幾組相似的三角形，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)；

（2）在圖二中，證明:；

（3）如果，，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）三組；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等即可得到三組相似三角形；（2）根據(jù)（1）即可得到△CDE∽△CAD,得到,同理可知，所以；（3）根據(jù)垂直關(guān)系得到C、E、D、F四點(diǎn)共圓，即可得到答案.

（1）∵, ,

∴,

∵∠C=∠C,

∴△CDE∽△CAD,

∵∠A=∠A,

∴△DAE∽△CAD,

∴△CDE∽△DAE,

故有三組相似三角形，它們是：△CDE∽△CAD, △DAE∽△CAD, △CDE∽△DAE;

（2）由（1）可得△CDE∽△CAD，

∴,即,

同理可得,即,

∴;

(3)∵，，

∴OD=,

∵,,

∴∠CED=∠CFD=,

∴C、E、D、F四點(diǎn)共圓，

∴∠CDE=∠CFE,∠DEF=∠DCF,

∴△ODE∽△OFC,

∴,

∴.