Question

【題目】（1）如圖，在△ABC中，∠A是銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC＝∠A，BE與CD相交于點O，探究BD與CE之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．

（2）已知四邊形ABCD，連接AC、BD交于O，且滿足條件：AB+CD＝AD+BC，AB2+AD2＝BC2+DC2，請?zhí)骄?/span>AC與BD的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，理由見解析；（2）AC與BD的關系是：BD垂直平分AC；理由見解析.

【解析】

（1）以C為頂點作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F點，證明△BDC≌△CFB（ASA），得出BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，再證出∠CFB＝∠CEF，得出CE＝CF，即可得出結(jié)論；
（2）由AB＋DC＝AD＋BC，AB2＋AD2＝BC2＋DC2，可證得AB＝BC，DC＝AD，即可得出BD垂直平分AC．

解：（1）BD＝CE，

證明：以C為頂點作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F點，如圖1所示：

在△BDC和△CFB中，，

∴△BDC≌△CFB（ASA），

∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，

∴∠DCB+∠EBC＝∠A，

∵∠DCB+∠EBC＝∠FOC，

∴∠FOC＝∠A，

∵∠BDC＝∠A+∠ACD，

∴∠CFB＝∠A+∠ACD，

∴∠CFB＝∠FOC+∠ACD，

∵∠FEC＝∠FOC+∠ACD，

∴∠CFB＝∠CEF，

∴CE＝CF，

∴BD＝CE；

（2）AC與BD的關系是：BD垂直平分AC；

理由：如圖2所示：

∵AB2+AD2＝BC2+DC2，

∴AB2﹣DC2＝BC2﹣AD2，

∴（AB+DC）（AB﹣DC）＝（AD+BC）（BC﹣AD），

∵AB+DC＝AD+BC，

∴AB﹣DC＝BC﹣AD，

∴AB＝BC，DC＝AD，

∴點B在AC的垂直平分線上，點D在AC的垂直平分線上，

∴BD垂直平分AC．